S-jednotka - S-unit

v matematika, v oblasti algebraická teorie čísel, an S-jednotka zobecňuje myšlenku jednotka z kruh celých čísel pole. Mnoho výsledků, které platí pro jednotky, platí také pro S-Jednotky.

Definice

Nechat K. být číselné pole s kruhem celých čísel R. Nechat S být konečnou sadou hlavních ideálů R. Prvek X z K. je S-jednotka, pokud hlavní zlomkový ideál (X) je produktem prvočísel v S (na kladné nebo záporné síly). Pro kruh racionálních celých čísel Z jeden může vzít S být konečnou sadou prvočísel a definovat S-jednotka je racionální číslo, jehož čitatel a jmenovatel jsou dělitelné pouze prvočísly v S.

Vlastnosti

The S-jednotky tvoří multiplikativní skupinu obsahující jednotky R.

Dirichletova věta o jednotce platí pro S-jednotky: skupina S-units je definitivně generován, s hodnost (maximální počet multiplikativně nezávislých prvků) roven r + s, kde r je hodnost skupiny jednotek a s = |S|.

Rovnice S-jednotky

The S-jednotková rovnice je Diophantine rovnice

u + proti = 1

s u, proti omezen na bytí S-jednotky K.. Počet řešení této rovnice je konečný a řešení jsou efektivně určována pomocí odhadů pro lineární tvary v logaritmech jak byl vyvinut v teorie transcendentních čísel. Řadu diofantických rovnic lze v zásadě redukovat na nějakou formu S-jednotková rovnice: pozoruhodný příklad je Siegelova věta na integrálních bodech na eliptické křivky a obecněji superelliptické křivky formuláře yⁿ= f (x).

V softwaru je k dispozici výpočetní řešení pro rovnici S-jednotek SageMath.^[1]

Reference

• Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Sekvence opakování. Matematické průzkumy a monografie. 104. Providence, RI: Americká matematická společnost. 19–22. ISBN  0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.
• Lang, Serge (1978). Eliptické křivky: Diophantinová analýza. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 231. Springer-Verlag. str. 128–153. ISBN  3-540-08489-4.
• Lang, Serge (1986). Algebraická teorie čísel. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94225-4. Kap. PROTI.
• Chytrý, Nigeli (1998). Algoritmické rozlišení diofantických rovnic. Studentské texty London Mathematical Society. 41. Cambridge University Press. Kap. 9. ISBN  0-521-64156-X.
• Neukirch, Jürgen (1986). Teorie pole třídy. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 280. Springer-Verlag. 72–73. ISBN  3-540-15251-2.

Další čtení

• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmické formy a diofantická geometrie. Nové matematické monografie. 9. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88268-2.
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Výšky v diofantické geometrii. Nové matematické monografie. 4. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521846153. ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034.