Leopoldtsova domněnka - Leopoldts conjecture - Wikipedia

v algebraická teorie čísel, Leopoldtova domněnka, představil H.-W. Leopoldt  (1962, 1975 ), uvádí, že p-adický regulátor a pole s číslem nezmizí. Regulátor p-adic je analogií obvyklého regulátor definované pomocí p-adic logaritmů namísto obvyklých logaritmů zavedených H.-W. Leopoldt  (1962 ).

Leopoldt navrhl definici a regulátor p-adic R_p připojený k K. a prvočíslo p. Definice R_p používá vhodný determinant se záznamy logaritmus p-adic generující sady jednotek K. (do torze), způsobem obvyklým regulátorem. Domněnka, která obecně K. je stále otevřen od roku 2009^{[Aktualizace]}, pak vyjde jako prohlášení, že R_p není nula.

Formulace

Nechat K. být pole s číslem a pro každého primární P z K. nad nějakým pevným racionálním prvočíslem p, nechť U_P označte místní jednotky v P a nechte U_1,P označte podskupinu hlavních jednotek v U_P. Soubor

${ displaystyle U_ {1} = prod _ {P | p} U_ {1, P}.}$

Pak nechte E₁ označuje množinu globálních jednotek ε tu mapu U₁ přes diagonální vkládání globálních jednotek vE.

Od té doby ${ displaystyle E_ {1}}$ je konečný-index podskupina globálních jednotek, to je abelianská skupina hodnosti ${ displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1}$, kde ${ displaystyle r_ {1}}$ je počet skutečných vložení ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle r_ {2}}$ počet párů složitých vložení. Leopoldtova domněnka uvádí, že ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$- hodnost modulu uzavření ${ displaystyle E_ {1}}$ vloženo diagonálně do ${ displaystyle U_ {1}}$ je také ${ displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1.}$

Leopoldtova domněnka je známa ve zvláštním případě, kdy ${ displaystyle K}$ je abelian rozšíření z ${ displaystyle mathbb {Q}}$ nebo abelianské rozšíření imaginárního kvadratické číslo: Sekera (1965) snížil abelianský případ na p-adickou verzi Bakerova věta, což krátce nato prokázal Brumer (1967).Mihăilescu  (2009, 2011 ) oznámil důkaz o Leopoldtově domněnce pro všechny CM-rozšíření z ${ displaystyle mathbb {Q}}$.

Colmez  (1988 ) vyjádřil reziduum p-adic Funkce Dedekind zeta a úplně skutečné pole na s = 1 ve smyslu p-adický regulátor. V důsledku toho je Leopoldtova domněnka o těchto polích ekvivalentní jejich p-adické funkce Dedekind zeta, které mají jednoduchý pól v s = 1.

Reference

• Axe, James (1965), „Na jednotkách algebraického číselného pole“, Illinois Journal of Mathematics, 9: 584–589, ISSN  0019-2082, PAN  0181630, Zbl  0132.28303
• Brumer, Armand (1967), „O jednotkách algebraických číselných polí“, Mathematika. Žurnál čisté a aplikované matematiky, 14 (2): 121–124, doi:10.1112 / S0025579300003703, ISSN  0025-5793, PAN  0220694, Zbl  0171.01105
• Colmez, Pierre (1988), "Résidu en s = 1 des fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae, 91 (2): 371–389, Bibcode:1988InMat..91..371C, doi:10.1007 / BF01389373, ISSN  0020-9910, PAN  0922806, Zbl  0651.12010
• Kolster, M. (2001) [1994], „Leopoldtova domněnka“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1962), „Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 209: 54–71, ISSN  0075-4102, PAN  0139602, Zbl  0204.07101
• Leopoldt, H. W. (1975), „Eine p-adische Theorie der Zetawerte II“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1975 (274/275): 224–239, doi:10,1515 / crll.1975,274-275,224, Zbl  0309.12009.
• Mihăilescu, Preda (2009), The T a T * komponenty Λ - modulů a Leopoldtova domněnka, arXiv:0905.1274, Bibcode:2009arXiv0905.1274M
• Mihăilescu, Preda (2011), Leopoldtova hypotéza pro pole CM, arXiv:1105.4544, Bibcode:2011arXiv1105.4544M
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-37888-4, PAN  2392026, Zbl  1136.11001
• Washington, Lawrence C. (1997), Úvod do cyklomatomických polí (Druhé vydání), New York: Springer, ISBN  0-387-94762-0, Zbl  0966.11047.