Základní model - Core model

v teorie množin, základní model je definovatelný vnitřní model z vesmír ze všech sady. Přestože teoretici množin odkazují na „základní model“, nejedná se o jednoznačně identifikovaný matematický objekt. Jedná se spíše o třídu vnitřních modelů, které za správných teoretických předpokladů mají velmi zvláštní vlastnosti, zejména krycí vlastnosti. Intuitivně je hlavní model „největším kanonickým vnitřním modelem, jaký existuje“ (Ernest Schimmerling a John R. Steel ) a je obvykle spojena s a velký kardinál představa. Pokud je Φ velká světová představa, pak fráze „základní model níže Φ“ odkazuje na definovatelný vnitřní model, který vykazuje speciální vlastnosti za předpokladu, že ne existuje kardinál uspokojující Φ. The základní model programu se snaží analyzovat velké kardinální axiomy určením základních modelů pod nimi.

Dějiny

První základní model byl Kurt Gödel je konstruovatelný vesmír L. Ronald Jensen prokázal krycí lemma pro L v 70. letech za předpokladu neexistence nula ostrá, kterým se stanoví L je „základní model pod nulou ostrý“. Práce Solovay izoloval další základní model L[U], pro U an ultrafiltr na měřitelný kardinál (a související „ostré“, nulová dýka ). Spolu s Tonym Doddem zkonstruoval Jensen Dodd – Jensenův základní model („základní model pod měřitelným kardinálem“) a prokázal krycí lemma pro něj a zobecněné krycí lemma pro L[U].

Mitchell použil koherentní sekvence měřítek k vývoji základních modelů obsahujících více měřitelných veličin nebo vyššího řádu. Ještě později byl použit model ocelového jádra prodlužovače a iterační stromy pro konstrukci základního modelu pod a Woodin kardinál.

Konstrukce základních modelů

Základní modely konstruuje transfinitní rekurze z malých fragmentů základního modelu zvaného myši. Důležitou složkou konstrukce je srovnávací lemma, které umožňuje dávat a svářečství příslušných myší.

Na úrovni silní kardinálové a výše, jeden konstruuje střední spočetně certifikovaný základní model K.^C, a pak, pokud je to možné, extrahuje K z K.^C.

Vlastnosti základních modelů

K._C (a tedy K) je jemně strukturovatelný spočetně iterovatelný model extenderu pod dlouhými extendery. (V současné době není známo, jak zacházet s dlouhými prodlužovači, které prokazují, že kardinál je super silný.) Zde spočetná iterovatelnost znamená ω₁+1 iterovatelnost pro všechny spočetné základní substruktury počátečních segmentů a postačuje k rozvoji základní teorie včetně určitých kondenzačních vlastností. Teorie takových modelů je kanonická a dobře srozumitelná. Uspokojují GCH, diamantový princip pro všechny stacionární podmnožiny řádných kardinálů, čtvercový princip (kromě v subkompaktní kardinálové ) a další principy držené v L.

K.^C je maximální v několika smyslech. K.^C vypočítá nástupce měřitelných a mnoha singulárních kardinálů správně. Rovněž se očekává, že při odpovídajícím oslabení spočetné ověřitelnosti bude K.^C by správně spočítal nástupce všech slabě kompaktní a singulární silný limit kardinálů správně. Pokud je V uzavřeno pod operátorem myši (operátor vnitřního modelu), pak je to také K.^C. K.^C nemá ostrý: Neexistuje žádný přirozený netriviální základní vložení K.^C do sebe. (Na rozdíl od K, K^C mohou být elementárně samy zabudovatelné.)

Pokud navíc v tomto modelu nejsou žádní kardinálové z Woodinu (s výjimkou určitých konkrétních případů není známo, jak by měl být definován základní model, pokud K_C má Woodin Cardinals), můžeme extrahovat skutečný základní model K. K je také jeho vlastní základní model. K je místně definovatelný a obecně absolutní: Pro každé obecné rozšíření V, pro každý kardinál κ> ω₁ ve V [G], K, jak je konstruováno v H (κ) V [G], se rovná K∩H (κ). (To by nebylo možné, kdyby K obsahoval Woodinovy ​​kardinály). K je maximální, univerzální a plně iterovatelný. To znamená, že pro každý iterovatelný rozšiřující model M (nazývaný myš) existuje elementární vložení M → N a počátečního segmentu K do N, a pokud M je univerzální, vložení je K do M.

Předpokládá se, že pokud K existuje a V je uzavřeno pod ostrým operátorem M, pak K je Σ¹₁ oprava umožňující reálná čísla v K jako parametry a M jako predikát. To činí Σ¹₃ správnost (v obvyklém smyslu), pokud M je x → x^#.

Základní model lze také definovat nad konkrétní sadou ordinálů X: X patří K (X), ale K (X) splňuje obvyklé vlastnosti K nad X. Pokud neexistuje žádný iterovatelný vnitřní model s ω Woodinovými kardinály, pak pro některé X existuje K (X). Výše uvedená diskuse K a K.^C zobecňuje na K (X) a K.^C(X).

Konstrukce základních modelů

Dohad:

• Pokud není ω₁+1 iterovatelný model s dlouhými prodlužovači (a tedy modely s mimořádně silnými kardinály), poté K.^C existuje.
• Pokud K.^C existuje a jak je zkonstruováno v každém obecném rozšíření V (ekvivalentně, při nějakém obecném zhroucení Coll (ω, <κ) pro dostatečně velký pořadový κ) splňuje „neexistují žádní Woodinovi kardinálové“, pak existuje Core Model K.

Dílčí výsledky domněnky jsou tyto:

1. Pokud neexistuje žádný vnitřní model s Woodinovým kardinálem, pak existuje K.
2. Pokud (tučně) Σ¹_n determinita (n je konečná) platí v každém obecném rozšíření V, ale neexistuje žádný iterovatelný vnitřní model s n Woodinovými kardinály, pak existuje K.
3. Pokud existuje měřitelný kardinál κ, pak buď K^C pod κ existuje nebo existuje ω₁+1 iterovatelný model s měřitelným limitem λ obou kardinálů Woodin a kardinálů silných až do λ.

Pokud má V Woodinovy ​​kardinály, ale ne kardinály silné kolem Woodinova, pak za vhodných okolností (kandidát na) K může být vytvořeno vytvořením K pod každým Woodinovým kardinálem (a pod třídou všech ordinálů) κ, ale nad tímto K jako vytvořeným pod nadvládou Woodinových kardinálů pod κ. Kandidát na základní model není plně iterovatelný (iterovatelnost selže u Woodinových kardinálů) nebo obecně absolutní, ale jinak se chová jako K.

Reference

• W. Hugh Woodin (Červen / červenec 2001). [1]. Oznámení AMS.
• William Mitchell. "Počínaje teorií vnitřního modelu" (jako kapitola 17 ve svazku 3 "Příručky teorie množin") na [2].
• Matthew Foreman a Akihiro Kanamori (Redaktoři). „Příručka teorie množin“, Springer Verlag, 2010, ISBN  978-1402048432.
• Ronald Jensen a John R. Steel. "K bez měřitelného". Journal of Symbolic Logic Volume 78, Issue 3 (2013), 708-734.