Princip diamantu - Diamond principle

v matematika, a to zejména v axiomatická teorie množin, diamantový princip $◊$ je kombinatorický princip představil Ronald Jensen v Jensen (1972) který drží v konstruovatelný vesmír ( $L$ ) a to znamená hypotéza kontinua. Jensen vytáhl diamantový princip ze svého důkazu, že Axiom konstruovatelnosti ( $PROTI = L$ ) naznačuje existenci a Suslinův strom.

Definice

Princip diamantu $◊$ říká, že existuje a Sequence sekvence, jinými slovy sady $A α \subseteq α$ pro $α < ω 1$ takové, že pro jakoukoli podmnožinu $A$ z ω₁ soubor $α$ s $A \cap α = A α$ je stacionární v $ω 1$ .

Existuje několik ekvivalentních forem diamantového principu. Jeden uvádí, že existuje spočetná sbírka $A α$ podskupin $α$ pro každého započítatelného pořadového čísla $α$ takové, že pro jakoukoli podmnožinu $A$ z $ω 1$ existuje stacionární podmnožina $C$ z $ω 1$ takové, že pro všechny $α$ v $C$ my máme $A \cap α \in A α$ a $C \cap α \in A α$ . Další ekvivalentní forma uvádí, že existují množiny $A α \subseteq α$ pro $α < ω 1$ takové, že pro jakoukoli podmnožinu $A$ z $ω 1$ je alespoň jeden nekonečný $α$ s $A \cap α = A α$ .

Obecněji řečeno, pro danou věc základní číslovka $κ$ a a stacionární souprava $S \subseteq κ$ , prohlášení $◊ S$ (někdy psáno $◊(S)$ nebo $◊ κ (S)$ ) je prohlášení, že existuje a sekvence $⟨ A α : α \in S ⟩$ takhle

každý $A α \subseteq α$
pro každého $A \subseteq κ$ , ${α \in S : A \cap α = A α}$ stojí v $κ$

Princip $◊ ω 1$ je stejné jako $◊$ .

Princip diamant plus $◊ +$ uvádí, že existuje a $◊ +$ -sekvence, jinými slovy spočetná sbírka $A α$ podskupin $α$ pro každý spočetný pořadový α tak, aby pro jakoukoli podmnožinu $A$ z $ω 1$ existuje uzavřená neomezená podmnožina $C$ z $ω 1$ takové, že pro všechny $α$ v $C$ my máme $A \cap α \in A α$ a $C \cap α \in A α$ .

Vlastnosti a použití

Jensen (1972) ukázal, že diamantový princip $◊$ znamená existenci Suslinské stromy. Také to ukázal $PROTI = L$ implikuje princip diamantu plus, který implikuje diamantový princip, který implikuje CH. Zejména princip diamantu a princip diamantu plus jsou oba nezávislý axiomů ZFC. Taky $♣ + CH$ naznačuje $◊$ , ale Shelah dal modely $♣ + \neg CH,$ tak $◊$ a $♣$ nejsou ekvivalentní (spíše $♣$ je slabší než $◊$ ).

Princip diamantu $◊$ neznamená existenci a Kurepa strom, ale silnější $◊ +$ princip znamená jak $◊$ princip a existence stromu Kurepa.

Akemann & Weaver (2004) použitý $◊$ postavit a $C *$ -algebra slouží jako protiklad na Naimarkův problém.

Pro všechny kardinály $κ$ a stacionární podmnožiny $S \subseteq κ +$ , $◊ S$ drží v konstruovatelný vesmír. Shelah (2010) dokázal, že pro $κ > ℵ 0$ , $◊ κ + (S)$ vyplývá z $2 κ = κ +$ pro stacionární $S$ které neobsahují ordinály spolufinancování $κ$ .

Shelah ukázal, že diamantový princip řeší Whitehead problém tím, že naznačuje, že každý Skupina Whitehead je zdarma.

Viz také

Reference

Akemann, Charles; Weaver, Nik (2004). "Konzistence protikladu k problému Naimark". Sborník Národní akademie věd. 101 (20): 7522–7525. arXiv:math.OA / 0312135. Bibcode:2004PNAS..101,7522A. doi:10.1073 / pnas.0401489101. PAN 2057719.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Jensen, R. Björn (1972). „Jemná struktura konstruovatelné hierarchie“. Annals of Mathematical Logic. 4: 229–308. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0. PAN 0309729.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rinot, Assaf (2011). „Jensenův diamantový princip a jeho příbuzní“. Teorie množin a její aplikace. Současná matematika. 533. Providence, RI: AMS. 125–156. arXiv:0911.2151. Bibcode:2009arXiv0911.2151R. ISBN 978-0-8218-4812-8. PAN 2777747.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Shelah, Saharon (1974). „Nekonečné abelianské skupiny, Whiteheadův problém a některé stavby“. Israel Journal of Mathematics. 18 (3): 243–256. doi:10.1007 / BF02757281. PAN 0357114.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Shelah, Saharon (2010). "Diamanty". Proceedings of the American Mathematical Society. 138: 2151–2161. doi:10.1090 / S0002-9939-10-10254-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)