Woodin kardinál - Woodin cardinal

v teorie množin, a Woodin kardinál (pojmenováno pro W. Hugh Woodin ) je základní číslovka λ takové, že pro všechny funkce

F : λ → λ

existuje kardinál κ <λ s

{F(β) | β <κ} ⊆ κ

a základní vložení

j : PROTI → M

z Von Neumannův vesmír PROTI do tranzitivu vnitřní model M s kritický bod κ a

PROTI_{j (f) (κ)} ⊆ M.

Ekvivalentní definice je tato: λ je Woodin kdyby a jen kdyby λ je silně nepřístupný a pro všechny ${ displaystyle A subseteq V _ { lambda}}$ existuje a ${ displaystyle lambda _ {A}}$ <λ což je ${ displaystyle < lambda}$ - ${ displaystyle A}$ -silný.

${ displaystyle lambda _ {A}}$ bytost ${ displaystyle < lambda}$ - ${ displaystyle A}$ -silný to znamená pro všechny řadové α <λ, existuje a ${ displaystyle j: V až M}$ což je základní vložení s kritický bod ${ displaystyle lambda _ {A}}$ , ${ displaystyle j ( lambda _ {A})> alfa}$ , ${ displaystyle V _ { alpha} subseteq M}$ a ${ displaystyle j (A) cap V _ { alpha} = A cap V _ { alpha}}$ . (Viz také silný kardinál.)

Kardinálovi Woodinovi předchází a stacionární souprava z měřitelní kardinálové, a tedy je to Mahlo kardinál. První kardinál Woodin však není vyrovnaný slabě kompaktní.

Důsledky

Woodin kardinálové jsou důležití v deskriptivní teorie množin. Výsledkem^[1] z Martin a Ocel, naznačuje existence nekonečně mnoha kardinálů z Woodinu projektivní rozhodnost, což zase znamená, že každá projektivní množina je měřitelný, má Vlastnost Baire (liší se od otevřené sady znakem a hubená sada, tj. množina, která je spočitatelným spojením nikde husté sady ) a perfektně nastavená vlastnost (je počítatelný nebo obsahuje a perfektní podmnožina).

Konzistenci existence Woodinových kardinálů lze prokázat pomocí hypotéz determinace. Pracuji v ZF +INZERÁT +DC dá se to dokázat ${ displaystyle Theta _ {0}}$ je Woodin ve třídě dědičně ordinálně definovatelných množin. ${ displaystyle Theta _ {0}}$ je první ordinál, na který nelze kontinuum zmapovat ordinálně definovatelným surjekcí (viz Θ (teorie množin) ).

Shelah dokázal, že pokud je existence Woodinova kardinála konzistentní, pak je konzistentní, že nestacionární ideál na ω₁ je ${ displaystyle aleph _ {2}}$ -nasycený. Woodin také prokázal ekvikonzistenci existence nekonečně mnoha Woodinských kardinálů a existence ${ displaystyle aleph _ {1}}$ -hustý ideální konec ${ displaystyle aleph _ {1}}$ .

Kardinálové z Hyper-Woodinu

A kardinál κ se nazývá hyper-Woodin, pokud existuje a normální míra U na κ tak, že pro každou sadu S, sada

{λ <κ | λ je <κ-S-silný }

je v U.

λ je <κ-S-silné právě tehdy, když pro každé δ <κ existuje a tranzitivní třída N a základní vložení

j: V → N

s

λ = crit (j),

j (λ) ≥ δ a

{ displaystyle j (S) čepice H _ { delta} = S čepice H _ { delta}}

.

Název naráží na klasický výsledek, že kardinál je Woodin právě tehdy, když pro každou sadu S, sada

{λ <κ | λ je <κ-S-silný }

je stacionární souprava

Měření U bude obsahovat sadu všech Shelah kardinálové pod κ.

Slabě hyper-Woodinští kardinálové

A kardinál κ se nazývá slabě hyper-Woodin, pokud pro každou sadu S existuje a normální míra U na κ tak, že množina {λ <κ | λ je <κ-S-strong} je v U. λ je <κ-S-silné právě tehdy, když pro každé δ <κ existuje tranzitivní třída N a elementární seskupení j: V → N s λ = crit (j), j (λ)> = δ a ${ displaystyle j (S) čepice H _ { delta} = S čepice H _ { delta}.}$

Název se zmiňuje o klasickém výsledku, že kardinál je Woodin, pokud pro každou sadu S, množina {λ <κ | λ je <κ-S-silný } stojí.

Rozdíl mezi hyper-Woodinskými kardinály a slabě hyper-Woodinskými kardinály spočívá v tom, že se rozhodnou U nezávisí na výběru sady S pro kardinály z hyper-Woodinu.

Poznámky a odkazy

^ Důkaz projektivní rozhodnosti

Další čtení

Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
Důkazy o dvou výsledcích uvedených v následcích viz Příručka teorie množin (Vyd. Foreman, Kanamori, Magidor) (objeví se). Pracovní verze některých kapitol je k dispozici.
Ernest Schimmerling, Kardinálové Woodin, kardinálové Shelah a základní model Mitchell-Steel, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, str. 3385–3391, 2002, online
Steel, John R. (Říjen 2007). „Co je to kardinál Woodin?“ (PDF ). Oznámení Americké matematické společnosti. 54 (9): 1146–7. Citováno 2008-01-15.

[1] Důkaz projektivní rozhodnosti

[1]