Podmíněná pravděpodobnost - Conditional probability

v teorie pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost je měřítkem pravděpodobnost z událost vzhledem k tomu, že již došlo k jiné události (na základě předpokladu, domněnky, tvrzení nebo důkazu).^[1] Pokud je zajímavá událost $A$ a událost $B$ je známo nebo se předpokládá, že k němu došlo, "podmíněná pravděpodobnost $A$ daný $B$ "nebo" pravděpodobnost $A$ pod podmínkou $B$ ", se obvykle píše jako $P (A | B)$ ,^[2]^[3] nebo někdy $P B (A)$ nebo $P (A / B)$ . Například pravděpodobnost, že kterákoli daná osoba kašle v kterýkoli daný den, může být pouze 5%. Pokud však víme nebo předpokládáme, že je člověk nemocný, je mnohem pravděpodobnější, že bude kašlat. Například podmíněná pravděpodobnost, že někdo špatně kašle, může být 75%, v takovém případě bychom to měli $P (kašel)$ = 5% a $P (kašel | nemocný)$ = 75%.

Podmíněná pravděpodobnost je jedním z nejdůležitějších a základních pojmů v teorii pravděpodobnosti.^[4] Podmíněné pravděpodobnosti však mohou být docela kluzké a mohou vyžadovat pečlivou interpretaci.^[5] Například nemusí existovat kauzální vztah mezi nimi $A$ a $B$ a nemusí nastat současně.

$P (A | B)$ se může nebo nemusí rovnat $P (A)$ (bezpodmínečná pravděpodobnost $A$ ). Li $P (A | B) = P (A)$ , pak události $A$ a $B$ se říká, že jsou nezávislý: v takovém případě znalosti o žádné události nemění jejich vzájemnou pravděpodobnost. $P (A | B)$ (podmíněná pravděpodobnost $A$ daný $B$ ) se obvykle liší od $P (B | A)$ . Například pokud osoba má dengue, mohou mít 90% šanci na pozitivní test na dengue. V tomto případě se měří událost if $B$ ("mít dengue"), pravděpodobnost $A$ (test je pozitivní) vzhledem k tomu $B$ (mít dengue) došlo k 90%: to znamená, $P (A | B)$ = 90%. Alternativně, pokud má člověk pozitivní test na horečku dengue, může mít pouze 15% šanci, že bude mít toto vzácné onemocnění, protože falešně pozitivní rychlost testu může být vysoká. V tomto případě se měří pravděpodobnost události $B$ (mít dengue) vzhledem k tomu, že událost $A$ (test je pozitivní) vyskytl se: $P (B | A)$ = 15%. Falešné vyrovnání dvou pravděpodobností může vést k různým chybám v uvažování, jako je klam základní sazby. Podmíněné pravděpodobnosti lze zvrátit pomocí Bayesova věta.

Podmíněné pravděpodobnosti lze zobrazit v a tabulka podmíněné pravděpodobnosti.

Definice

Ilustrace podmíněných pravděpodobností s Eulerův diagram. Bezpodmínečné pravděpodobnost P (A) = 0,30 + 0,10 + 0,12 = 0,52. Podmíněná pravděpodobnost P(A|B₁) = 1, P(A|B₂) = 0,12 ÷ (0,12 + 0,04) = 0,75 a P (A|B₃) = 0.

Na stromový diagram, pravděpodobnosti větví jsou podmíněny událostí spojenou s nadřazeným uzlem. (Tady překrytí označují, že k události nedochází.)

Venn Pie Chart popisující podmíněné pravděpodobnosti

Podmínka události

Kolmogorovova definice

Vzhledem k tomu dva Události $A$ a $B$ z sigma-pole pravděpodobnostního prostoru s bezpodmínečná pravděpodobnost z $B$ být větší než nula (tj. $P (B)>0)$ podmíněná pravděpodobnost $A$ daný $B$ je definován jako kvocient pravděpodobnosti společné události $A$ a $B$ a pravděpodobnost z $B$ :^[3]^[6]^[7]

{ displaystyle P (A mid B) = { frac {P (A cap B)} {P (B)}},}

kde ${ displaystyle P (A cap B)}$ je pravděpodobnost, že obě události $A$ a $B$ nastat. To lze vizualizovat jako omezení prostoru vzorku na situace, ve kterých $B$ dojde. Logika za touto rovnicí je, že pokud jsou možné výsledky pro $A$ a $B$ jsou omezeny na ty, ve kterých $B$ dojde, tato sada slouží jako nový ukázkový prostor.

Všimněte si, že výše uvedená rovnice je definice - nikoli teoretický výsledek. Jen označíme množství ${ displaystyle { frac {P (A cap B)} {P (B)}}}$ tak jako ${ displaystyle P (A střední B)}$ a nazvěme to podmíněnou pravděpodobností $A$ daný $B$ .

Jako axiom pravděpodobnosti

Někteří autoři, jako např de Finetti, raději zavést podmíněnou pravděpodobnost jako axiom pravděpodobnosti:

{ displaystyle P (A cap B) = P (A mid B) P (B)}

Ačkoli matematicky ekvivalentní, toto může být preferováno filozoficky; pod majorem pravděpodobnostní interpretace, tak jako subjektivní teorie podmíněná pravděpodobnost je považována za primitivní entitu. Dále tento „multiplikační axiom“ zavádí symetrii s axiomem součtu pro vzájemně se vylučující události:^[8]

{ displaystyle P (A cup B) = P (A) + P (B) - { cancelto {0} {P (A cap B)}}}

Jako pravděpodobnost podmíněné události

Podmíněnou pravděpodobnost lze definovat jako pravděpodobnost podmíněné události ${ displaystyle A_ {B}}$ . The Goodman – Nguyen – van Fraassen podmíněnou událost lze definovat jako

{ displaystyle A_ {B} = bigcup _ {i geq 1} left ( bigcap _ {j

To lze ukázat

{ displaystyle P (A_ {B}) = { frac {P (A cap B)} {P (B)}}}

který splňuje Kolmogorovovu definici podmíněné pravděpodobnosti.

Teoretická definice míry

Li $P (B)=0$ , pak podle jednoduché definice, $P (A | B)$ je nedefinováno. Je však možné definovat podmíněnou pravděpodobnost s ohledem na a σ-algebra takových událostí (například těch, které vyplývají z a spojitá náhodná proměnná ).

Například pokud $X$ a $Y$ jsou nedegenerované a společně spojité náhodné proměnné s hustotou $ƒ X, Y (X, y)$ , pak (za předpokladu, že $B$ má pozitivní opatření )

{ displaystyle P (X v A polovině Y v B) = { frac { int _ {y v B} int _ {x v A} f_ {X, Y} (x, y) , dx , dy} { int _ {y in B} int _ {x in mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y) , dx , dy}}. }

Případ kde $B$ má nulovou míru je problematické. Pro ten případ $B = y 0$ }, představující jediný bod, lze podmíněnou pravděpodobnost definovat jako:

{ displaystyle P (X v A mid Y = y_ {0}) = { frac { int _ {x v A} f_ {X, Y} (x, y_ {0}) , dx} { int _ {x in mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y_ {0}) , dx}}.}

Tento přístup však vede k Paradox Borel – Kolmogorov. Obecnější případ nulové míry je ještě problematičtější, jak je patrné z poznámky, že limit, jako všechny $δy i$ přiblížit se nule, z

{ displaystyle P (X v A mid Y v bigcup _ {i} [y_ {i}, y_ {i} + delta y_ {i}]) přibližně {{frac { součet _ {i } int _ {x in A} f_ {X, Y} (x, y_ {i}) , dx , delta y_ {i}} { sum _ {i} int _ {x in mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y_ {i}) , dx , delta y_ {i}}},}

závisí na jejich vztahu, když se blíží nule. Vidět podmíněné očekávání Pro více informací.

Podmínka na náhodné proměnné

Nechat $X$ být náhodná proměnná; předpokládáme to z důvodu prezentace $X$ je konečný, to znamená, $X$ přebírá jen konečně mnoho hodnot $X$ . Nechat $A$ být událost, pak podmíněná pravděpodobnost $A$ daný $X$ je definována jako náhodná proměnná, zapsaná $P (A | X)$ , která nabývá na hodnotě

{ displaystyle P (A mid X = x)}

kdykoli

{ displaystyle X = x.}

Formálněji

{ displaystyle P (A mid X) ( omega) = P (A mid X = X ( omega))}}

Podmíněná pravděpodobnost $P (A | X)$ je funkce $X$ . Například. pokud je funkce $G$ je definován jako

{ displaystyle g (x) = P (A mid X = x),}

pak

{ displaystyle P (A mid X) = g cirkus X.}

Všimněte si, že $P (A | X)$ a $X$ jsou nyní oba náhodné proměnné. Z zákon celkové pravděpodobnosti, očekávaná hodnota z $P (A | X)$ se rovná bezpodmínečnému pravděpodobnost z $A$ .

Částečná podmíněná pravděpodobnost

Částečná podmíněná pravděpodobnost ${ displaystyle P (A mid B_ {1} equiv b_ {1}, ldots, B_ {m} equiv b_ {m})}$ je o pravděpodobnosti události ${ displaystyle A}$ vzhledem k tomu, že každá z podmínek podmínky ${ displaystyle B_ {i}}$ došlo do určité míry ${ displaystyle b_ {i}}$ (stupeň víry, stupeň zkušeností), které se mohou lišit od 100%. Částečně podmíněná pravděpodobnost má smysl, pokud jsou podmínky testovány opakováním experimentů vhodné délky ${ displaystyle n}$ .^[9] Takový ${ displaystyle n}$ - omezenou částečnou podmíněnou pravděpodobnost lze definovat jako podmíněně očekáváno průměrný výskyt události ${ displaystyle A}$ v testbedech délky ${ displaystyle n}$ které splňují všechny specifikace pravděpodobnosti ${ displaystyle B_ {i} equiv b_ {i}}$ , tj.:

{ displaystyle P ^ {n} (A mid B_ {1} equiv b_ {1}, ldots, B_ {m} equiv b_ {m}) = operatorname {E} ({ overline {A} } ^ {n} mid { overline {B}} _ {1} ^ {n} = b_ {1}, ldots, { overline {B}} _ {m} ^ {n} = b_ {m })}

^[9]

Na základě toho lze definovat částečnou podmíněnou pravděpodobnost jako

{ displaystyle P (A mid B_ {1} equiv b_ {1}, ldots, B_ {m} equiv b_ {m}) = lim _ {n to infty} P ^ {n} ( A mid B_ {1} equiv b_ {1}, ldots, B_ {m} equiv b_ {m}),}

kde ${ displaystyle b_ {i} n in mathbb {N}}$ ^[9]

Jeffreyova kondicionace^[10]^[11]je speciální případ částečné podmíněné pravděpodobnosti, ve kterém musí podmínkové události tvořit a rozdělit:

{ displaystyle P (A mid B_ {1} equiv b_ {1}, ldots, B_ {m} equiv b_ {m}) = sum _ {i = 1} ^ {m} b_ {i} P (A mid B_ {i})}

Příklad

Předpokládejme, že někdo tajně hodí dvě spravedlivé šestistrany kostky, a chceme vypočítat pravděpodobnost, že face-up hodnota prvního je 2, vzhledem k informaci, že jejich součet není větší než 5.

Nechat D₁ být hodnota, na kterou se valí zemřít 1.
Nechat D₂ být hodnota, na kterou se valí zemřít 2.

Pravděpodobnost, že D₁ = 2

Tabulka 1 ukazuje ukázkový prostor 36 kombinací válcovaných hodnot dvou kostek, z nichž každá se vyskytuje s pravděpodobností 1/36, přičemž čísla zobrazená v červených a tmavě šedých buňkách jsou D₁ + D₂.

D₁ = 2 z přesně 6 z 36 výsledků; tím pádem P(D₁ = 2) = ⁶⁄₃₆ = ¹⁄₆:

stůl 1
+		D₂
+		1	2	3	4	5	6
D₁	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Pravděpodobnost, že D₁ + D₂ ≤ 5

Tabulka 2 to ukazuje D₁ + D₂ ≤ 5 pro přesně 10 z 36 výsledků, tedy P(D₁ + D₂ ≤ 5) = ¹⁰⁄₃₆:

Tabulka 2
+		D₂
+		1	2	3	4	5	6
D₁	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Pravděpodobnost, že D₁ = 2 vzhledem k tomu D₁ + D₂ ≤ 5

Tabulka 3 ukazuje, že u 3 z těchto 10 výsledků D₁ = 2.

Podmíněná pravděpodobnost P (D₁ = 2 | D₁+D₂ ≤ 5) = ³⁄₁₀ = 0.3:

Tabulka 3
+		D₂
+		1	2	3	4	5	6
D₁	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Tady, v dřívější notaci pro definici podmíněné pravděpodobnosti, podmíněná událost B je to D₁ + D₂ ≤ 5 a událost A je D₁ = 2. Máme ${ displaystyle P (A mid B) = { tfrac {P (A cap B)} {P (B)}} = { tfrac {3/36} {10/36}} = { tfrac { 3} {10}},}$ jak je vidět v tabulce.

Použít v závěru

v statistická inference, podmíněná pravděpodobnost je aktualizací pravděpodobnosti událost na základě nových informací.^[5] Nové informace lze začlenit následovně:^[1]

Nechat A, událost zájmu, být v ukázkový prostor, řekněme (X,P).
Výskyt události A vědět tu událost B došlo nebo bude, znamená výskyt A jak je omezeno na B, tj. ${ displaystyle A cap B}$ .
Bez vědomí výskytu B, informace o výskytu A by prostě byl P(A)
Pravděpodobnost A vědět tu událost B došlo nebo bude, bude pravděpodobnost ${ displaystyle A cap B}$ ve vztahu k P(B), pravděpodobnost, že B vyskytl se.
Výsledkem je ${ textový styl P (A | B) = P (A cap B) / P (B)}$ kdykoli P(B)> 0 a 0 jinak.

Tento přístup vede k míře pravděpodobnosti, která je v souladu s původní mírou pravděpodobnosti a splňuje všechny Kolmogorovovy axiomy. Toto opatření podmíněné pravděpodobnosti také mohlo vycházet z předpokladu, že relativní velikost pravděpodobnosti A s ohledem na X bude zachována s ohledem na B (srov. formální derivace níže).

V dokumentu se obvykle používá výraz „důkaz“ nebo „informace“ Bayesovská interpretace pravděpodobnosti. Podmíněná událost je interpretována jako důkaz podmíněné události. To znamená, P(A) je pravděpodobnost A před účtováním důkazů E, a P(A|E) je pravděpodobnost A po zohlednění důkazů E nebo po aktualizaci P(A). To je v souladu s frekventovaným výkladem, což je první výše uvedená definice.

Statistická nezávislost

Události A a B jsou definovány jako statisticky nezávislé -li

{ displaystyle P (A cap B) = P (A) P (B).}

Li P(B) není nula, pak je to ekvivalentní tvrzení, že

{ displaystyle P (A mid B) = P (A).}

Podobně, pokud P(A) tedy není nula

{ displaystyle P (B mid A) = P (B)}

je také ekvivalentní. Ačkoli se odvozené formy mohou zdát intuitivnější, nejedná se o upřednostňovanou definici, protože podmíněné pravděpodobnosti mohou být nedefinované a upřednostňovaná definice je A a B.

Nezávislé události vs. vzájemně se vylučující události

Pojmy vzájemně nezávislé události a vzájemně se vylučující události jsou oddělené a odlišné. Následující tabulka porovnává výsledky pro oba případy (za předpokladu, že pravděpodobnost podmíněné události není nulová).


	Pokud je statisticky nezávislý	Pokud se vzájemně vylučují
${ displaystyle P (A mid B) =}$	${ displaystyle P (A)}$	0
${ displaystyle P (B mid A) =}$	${ displaystyle P (B)}$	0
${ displaystyle P (A cap B) =}$	${ displaystyle P (A) P (B)}$	0

Ve skutečnosti vzájemně se vylučující události nemohou být statisticky nezávislé (pokud nejsou možné obě), protože znalost toho, že dojde k jednomu, poskytuje informace o druhém (zejména to, že k druhému určitě nedojde).

Běžné omyly

Tyto omyly by se neměly zaměňovat s rokem Robert K. Shope z roku 1978 „podmíněný klam“, která se zabývá srovnávacími příklady, které prosit o otázku.

Za předpokladu, že podmíněná pravděpodobnost má podobnou velikost jako její inverzní

Geometrická vizualizace Bayesovy věty. Hodnoty 2, 3, 6 a 9 v tabulce udávají relativní váhy každé odpovídající podmínky a případu. Čísla označují buňky tabulky zapojené do každé metriky, přičemž pravděpodobností je zlomek každého čísla, který je stínovaný. To ukazuje, že P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A), tj. P (A | B) = P (B | A) P (A)/P (B) . Podobným uvažováním lze ukázat, že P (Ā | B) = P (B | Ā) P (Ā)/P (B) atd.

Obecně se to nedá předpokládat P(A|B) ≈ P(B|A). To může být zákeřná chyba, dokonce i pro ty, kteří jsou velmi obeznámeni se statistikami.^[12] Vztah mezi P(A|B) a P(B|A) darováno Bayesova věta:

{ displaystyle { begin {zarovnaný} P (B mid A) & = { frac {P (A mid B) P (B)} {P (A)}} Leftrightarrow { frac {P (B mid A)} {P (A mid B)}} & = { frac {P (B)} {P (A)}} end {zarovnáno}}}

To znamená, P (A|B) ≈ P (B|A) jen když P(B)/P(A) ≈ 1 nebo ekvivalentně, P(A) ≈ P(B).

Za předpokladu, že okrajové a podmíněné pravděpodobnosti jsou podobné velikosti

Obecně se to nedá předpokládat P(A) ≈ P(A|B). Tyto pravděpodobnosti jsou propojeny prostřednictvím zákon celkové pravděpodobnosti:

{ displaystyle P (A) = součet _ {n} P (A cap B_ {n}) = součet _ {n} P (A mid B_ {n}) P (B_ {n}).}

kde události ${ displaystyle (B_ {n})}$ tvoří spočet rozdělit z ${ displaystyle Omega}$ .

Tento klam může vzniknout skrz zkreslení výběru.^[13] Například v souvislosti s lékařským tvrzením, ať S_C být událost, že a následky (chronické onemocnění) S nastává v důsledku okolností (akutní stav) C. Nechat H být případ, že jednotlivec vyhledá lékařskou pomoc. Předpokládejme, že ve většině případů C nezpůsobuje S (aby P(S_C) je nízký). Předpokládejme také, že lékařská péče je vyhledávána, pouze pokud S došlo kvůli C. Ze zkušeností pacientů proto může lékař chybně usoudit, že P(S_C) je vysoký. Skutečná pravděpodobnost pozorovaná lékařem je P(S_C|H).

Nadměrné nebo podvážené priority

Je voláno nebrat v úvahu předchozí pravděpodobnost částečně nebo úplně zanedbání základní sazby. Opačná, nedostatečná úprava z předchozí pravděpodobnosti je konzervatismus.

Formální odvození

Formálně, P(A | B) je definována jako pravděpodobnost A podle nové funkce pravděpodobnosti ve vzorovém prostoru, takže výsledky nejsou v B mají pravděpodobnost 0 a že je v souladu se všemi původními pravděpodobnostní opatření.^[14]^[15]

Nechť Ω je a ukázkový prostor s základní události {ω} a necháme P být mírou pravděpodobnosti s ohledem na σ-algebra Ω. Předpokládejme, že nám bylo řečeno, že událost B Occurred Ω došlo. Nové rozdělení pravděpodobnosti (označené podmíněnou notací) má být přiřazeno dne {ω} aby to odrážely. Všechny události, které nejsou v B bude mít v nové distribuci nulovou pravděpodobnost. Pro události v B, musí být splněny dvě podmínky: pravděpodobnost B je jedna a relativní velikosti pravděpodobností musí být zachovány. První je vyžadován axiomy pravděpodobnosti, a toto vyplývá ze skutečnosti, že nové míra pravděpodobnosti musí být obdobou P ve kterém je pravděpodobnost B je jedna - a každá událost, která není v B, proto má nulovou pravděpodobnost. Proto pro nějaký faktor měřítka α, nová distribuce musí splňovat:

{ displaystyle { begin {aligned} & { text {1. }} omega v B: P ( omega mid B) = alpha P ( omega) & { text {2. }} omega notin B: P ( omega mid B) = 0 & { text {3. }} sum _ { omega in Omega} {P ( omega mid B)} = 1. end {zarovnáno}}}

Nahrazením 1 a 2 do 3 vyberte α:

{ displaystyle { begin {aligned} 1 & = sum _ { omega in Omega} {P ( omega mid B)} & = sum _ { omega v B} {P ( omega mid B)} + { cancelto {0} { sum _ { omega notin B} P ( omega mid B)}} & = alpha sum _ { omega v B} {P ( omega)} [5pt] & = alpha cdot P (B) [5pt] Rightarrow alpha & = { frac {1} {P (B)}} end {zarovnáno }}}

Nové rozdělení pravděpodobnosti tedy je

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { text {1. }} omega v B &: P ( omega mid B) = { frac {P ( omega)} {P (B)}}} { text {2. }} omega notin B &: P ( omega mid B) = 0 end {zarovnáno}}}

Nyní pro obecnou událost A,

{ displaystyle { begin {aligned} P (A mid B) & = sum _ { omega v A cap B} {P ( omega mid B)} + { cancelto {0} { součet _ { omega v A cap B ^ {c}} P ( omega mid B)}} & = sum _ { omega v A cap B} { frac {P ( omega)} {P (B)}} [5pt] & = { frac {P (A cap B)} {P (B)}} end {zarovnáno}}}

Viz také

Reference

^ ^A ^b Gut, Allan (2013). Pravděpodobnost: Postgraduální kurz (Druhé vydání.). New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-4707-8.
^ "Seznam symbolů pravděpodobnosti a statistik". Matematický trezor. 2020-04-26. Citováno 2020-09-11.
^ ^A ^b "Podmíněná pravděpodobnost". www.mathsisfun.com. Citováno 2020-09-11.
^ Ross, Sheldon (2010). První kurz pravděpodobnosti (8. vydání). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-603313-4.
^ ^A ^b Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Statistická inference. Duxbury Press. ISBN 0-534-24312-6.
^ Kolmogorov, Andrey (1956), Základy teorie pravděpodobnosti, Chelsea
^ "Podmíněná pravděpodobnost". www.stat.yale.edu. Citováno 2020-09-11.
^ Gillies, Donald (2000); „Filozofické teorie pravděpodobnosti“; Routledge; Kapitola 4 „Subjektivní teorie“
^ ^A ^b ^C Draheim, Dirk (2017). „Zobecněná Jeffreyova kondicionace (častá sémantika částečné kondicionace)“. Springer. Citováno 19. prosince 2017.
^ Jeffrey, Richard C. (1983), Logika rozhodnutí, 2. vydání, University of Chicago Press, ISBN 9780226395821
^ „Bayesiánská epistemologie“. Stanfordská encyklopedie filozofie. 2017. Citováno 29. prosince 2017.
^ Paulos, J.A. (1988) Innumeracy: Matematická negramotnost a její důsledkyHill a Wang. ISBN 0-8090-7447-8 (str a násl.)
^ Thomas Bruss, F; Der Wyatt Earp Effekt; Spektrum der Wissenschaft; Březen 2007
^ George Casella a Roger L. Berger (1990), Statistická inference, Duxbury Press, ISBN 0-534-11958-1 (str a násl.)
^ Grinstead a Snell Úvod do pravděpodobnosti, str. 134

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Podmíněná pravděpodobnost". MathWorld.
F. Thomas Bruss Der Wyatt-Earp-Effekt oder die betörende Macht kleiner Wahrscheinlichkeiten (v němčině), Spektrum der Wissenschaft (německé vydání časopisu Scientific American), svazek 2, 110–113, (2007).
Vizuální vysvětlení podmíněné pravděpodobnosti

[Allan_Gut_2013-1] A ^b Gut, Allan (2013). Pravděpodobnost: Postgraduální kurz (Druhé vydání.). New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-4707-8.

[2] "Seznam symbolů pravděpodobnosti a statistik". Matematický trezor. 2020-04-26. Citováno 2020-09-11.

[:0-3] A ^b "Podmíněná pravděpodobnost". www.mathsisfun.com. Citováno 2020-09-11.

[Sheldon_Ross_2010-4] Ross, Sheldon (2010). První kurz pravděpodobnosti (8. vydání). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-603313-4.

[Casella_and_Berger_2002-5] A ^b Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Statistická inference. Duxbury Press. ISBN 0-534-24312-6.

[6] Kolmogorov, Andrey (1956), Základy teorie pravděpodobnosti, Chelsea

[7] "Podmíněná pravděpodobnost". www.stat.yale.edu. Citováno 2020-09-11.

[8] Gillies, Donald (2000); „Filozofické teorie pravděpodobnosti“; Routledge; Kapitola 4 „Subjektivní teorie“

[Draheim2017b-9] A ^b ^C Draheim, Dirk (2017). „Zobecněná Jeffreyova kondicionace (častá sémantika částečné kondicionace)“. Springer. Citováno 19. prosince 2017.

[10] Jeffrey, Richard C. (1983), Logika rozhodnutí, 2. vydání, University of Chicago Press, ISBN 9780226395821

[11] „Bayesiánská epistemologie“. Stanfordská encyklopedie filozofie. 2017. Citováno 29. prosince 2017.

[12] Paulos, J.A. (1988) Innumeracy: Matematická negramotnost a její důsledkyHill a Wang. ISBN 0-8090-7447-8 (str a násl.)

[13] Thomas Bruss, F; Der Wyatt Earp Effekt; Spektrum der Wissenschaft; Březen 2007

[14] George Casella a Roger L. Berger (1990), Statistická inference, Duxbury Press, ISBN 0-534-11958-1 (str a násl.)

[grinstead-15] Grinstead a Snell Úvod do pravděpodobnosti, str. 134

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]