Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti - Conditional probability distribution

v teorie pravděpodobnosti a statistika, vzhledem k tomu dva společně distribuovány náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ , podmíněné rozdělení pravděpodobnosti z Y daný X je rozdělení pravděpodobnosti z ${ displaystyle Y}$ když ${ displaystyle X}$ je známo, že je konkrétní hodnotou; v některých případech mohou být podmíněné pravděpodobnosti vyjádřeny jako funkce obsahující nespecifikovanou hodnotu ${ displaystyle x}$ z ${ displaystyle X}$ jako parametr. Když obojí ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou kategorické proměnné, a tabulka podmíněné pravděpodobnosti se obvykle používá k vyjádření podmíněné pravděpodobnosti. Podmíněné rozdělení kontrastuje s mezní rozdělení náhodné proměnné, což je její rozdělení bez odkazu na hodnotu druhé proměnné.

Pokud je podmíněné rozdělení ${ displaystyle Y}$ daný ${ displaystyle X}$ je kontinuální distribuce, pak jeho funkce hustoty pravděpodobnosti je známý jako funkce podmíněné hustoty. Vlastnosti podmíněné distribuce, například momenty, jsou často označovány odpovídajícími názvy, například podmíněný průměr a podmíněná odchylka.

Obecněji lze odkazovat na podmíněné rozdělení podmnožiny sady více než dvou proměnných; toto podmíněné rozdělení je podmíněno hodnotami všech zbývajících proměnných, a pokud je v podmnožině zahrnuta více než jedna proměnná, pak toto podmíněné rozdělení je podmíněné společná distribuce zahrnutých proměnných.

Podmíněné diskrétní distribuce

Pro diskrétní náhodné proměnné, podmíněná hmotnostní funkce podmíněné pravděpodobnosti ${ displaystyle Y}$ daný ${ displaystyle X = x}$ lze psát podle jeho definice jako:

${ displaystyle p_ {Y | X} (y mid x) triangleq P (Y = y mid X = x) = { frac {P ( {X = x } cap {Y = y })} {P (X = x)}}}$

Vzhledem k výskytu ${ displaystyle P (X = x)}$ ve jmenovateli je to definováno pouze pro nenulové (tedy přísně pozitivní) ${ displaystyle P (X = x).}$

Vztah k rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle X}$ daný ${ displaystyle Y}$ je:

{ Displaystyle P (Y = y mid X = x) P (X = x) = P ( {X = x } čepice {Y = y }) = P (X = x mid Y = y) P (Y = y).}

Příklad

Zvažte roli veletrhu zemřít a nechte ${ displaystyle X = 1}$ pokud je číslo sudé (tj. 2, 4 nebo 6) a ${ displaystyle X = 0}$ v opačném případě. Kromě toho ${ displaystyle Y = 1}$ pokud je číslo prvočíslo (tj. 2, 3 nebo 5) a ${ displaystyle Y = 0}$ v opačném případě.

	1	2	3	4	5	6
X	0	1	0	1	0	1
Y	0	1	1	0	1	0

Pak bezpodmínečná pravděpodobnost, že ${ displaystyle X = 1}$ je 3/6 = 1/2 (protože existuje šest možných válců matrice, z nichž tři jsou sudé), zatímco pravděpodobnost, že ${ displaystyle X = 1}$ podmíněno ${ displaystyle Y = 1}$ je 1/3 (protože existují tři možné role prvního čísla - 2, 3 a 5 - z nichž jeden je sudý).

Podmíněné spojité distribuce

Podobně pro spojité náhodné proměnné podmíněné funkce hustoty pravděpodobnosti z ${ displaystyle Y}$ vzhledem k výskytu hodnoty ${ displaystyle x}$ z ${ displaystyle X}$ lze psát jako^[1]^{:p. 99}

${ displaystyle f_ {Y mid X} (y mid x) = { frac {f_ {X, Y} (x, y)} {f_ {X} (x)}}}$

kde ${ displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$ dává hustota kloubů z ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ , zatímco ${ displaystyle f_ {X} (x)}$ dává mezní hustota pro ${ displaystyle X}$ . I v tomto případě je to nutné ${ displaystyle f_ {X} (x)> 0}$ .

Vztah k rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle X}$ daný ${ displaystyle Y}$ je dána:

{ displaystyle f_ {Y mid X} (y mid x) f_ {X} (x) = f_ {X, Y} (x, y) = f_ {X | Y} (x mid y) f_ { Y} (y).}

Koncept podmíněného rozdělení spojité náhodné proměnné není tak intuitivní, jak by se mohlo zdát: Borelův paradox ukazuje, že funkce podmíněné hustoty pravděpodobnosti nemusí být při transformacích souřadnic invariantní.

Příklad

Bivariate normální hustota kloubů

Graf ukazuje a rozdělit normální hustotu kloubů pro náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ . Chcete-li vidět distribuci ${ displaystyle Y}$ podmíněno ${ displaystyle X = 70}$ , lze si nejprve linku vizualizovat ${ displaystyle X = 70}$ v ${ displaystyle X, Y}$ letadlo, a poté vizualizujte rovinu obsahující tuto přímku a kolmou k ${ displaystyle X, Y}$ letadlo. Průsečík této roviny s normální hustotou kloubu, jakmile je znovu změněn, aby poskytl jednotkovou plochu pod průsečíkem, je relevantní podmíněná hustota ${ displaystyle Y}$ .

${ displaystyle Y mid X = 70 sim { mathcal {N}} left ( mu _ {1} + { frac { sigma _ {1}} { sigma _ {2}}} rho (70- mu _ {2}), , (1- rho ^ {2}) sigma _ {1} ^ {2} vpravo).}$

Vztah k nezávislosti

Náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle Y}$ jsou nezávislý právě tehdy, pokud je podmíněné rozdělení ${ displaystyle Y}$ daný ${ displaystyle X}$ je pro všechny možné realizace ${ displaystyle X}$ , rovnající se bezpodmínečnému rozdělení ${ displaystyle Y}$ . Pro diskrétní náhodné proměnné to znamená ${ displaystyle P (Y = y | X = x) = P (Y = y)}$ pro všechny možné ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle x}$ s ${ displaystyle P (X = x)> 0}$ . Pro spojité náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ , které mají funkce hustoty kloubů, to znamená ${ displaystyle f_ {Y} (y | X = x) = f_ {Y} (y)}$ pro všechny možné ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle x}$ s ${ displaystyle f_ {X} (x)> 0}$ .

Vlastnosti

Viděn jako funkce ${ displaystyle y}$ za dané ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle P (Y = y | X = x)}$ je funkce pravděpodobnostní hmotnosti, a tedy součet za všechny ${ displaystyle y}$ (nebo integrál, pokud se jedná o podmíněnou hustotu pravděpodobnosti) je 1. Viděn jako funkce ${ displaystyle x}$ za dané ${ displaystyle y}$ , to je funkce pravděpodobnosti, takže součet přes všechno ${ displaystyle x}$ nemusí být 1.

Mezní hodnotu společného rozdělení lze navíc vyjádřit jako očekávání odpovídajícího podmíněného rozdělení. Například, ${ displaystyle p_ {X} (x) = E_ {Y} [p_ {X | Y} (X | Y)]}$ .

Teoretická formulace opatření

Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ být prostorem pravděpodobnosti, ${ displaystyle { mathcal {G}} subseteq { mathcal {F}}}$ A ${ displaystyle sigma}$ - postavit se dovnitř ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ , a ${ displaystyle X: Omega to mathbb {R}}$ náhodná veličina se skutečnou hodnotou (měřitelná vzhledem k Borelovi) ${ displaystyle sigma}$ -pole ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {1}}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$ ). Dáno ${ displaystyle A v { mathcal {F}}}$ , Radon-Nikodymova věta znamená, že existuje^[2] A ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -měřitelná integrovatelná náhodná proměnná ${ displaystyle P (A mid { mathcal {G}}): Omega to mathbb {R}}$ takhle ${ displaystyle int _ {G} P (A mid { mathcal {G}}) ( omega) dP ( omega) = P (A cap G)}$ pro každého ${ displaystyle G v { mathcal {G}}}$ a taková náhodná proměnná je jednoznačně definována až do sad pravděpodobnosti nula. Dále pak lze ukázat, že existuje^[3] funkce ${ displaystyle mu: { mathcal {R}} ^ {1} krát Omega to mathbb {R}}$ takhle

${ displaystyle mu ( cdot, omega)}$ je míra pravděpodobnosti na ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {1}}$ pro každého ${ displaystyle omega v Omega}$ (tj. je pravidelný ) a ${ displaystyle mu (H, cdot) = P (X ^ {- 1} (H) mid { mathcal {G}})}$ (téměř jistě) pro každého ${ displaystyle H v { mathcal {R}} ^ {1}}$ .

Pro všechny ${ displaystyle omega v Omega}$ , funkce ${ displaystyle mu ( cdot, omega): { mathcal {R}} ^ {1} to mathbb {R}}$ se nazývá a podmíněná pravděpodobnost rozdělení z ${ displaystyle X}$ daný ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ . V tomto případě, ${ displaystyle E [X mid { mathcal {G}}] = int _ {- infty} ^ { infty} x , mu (dx, cdot)}$ téměř jistě.

Vztah k podmíněnému očekávání

Pro každou událost ${ displaystyle A v { mathcal {A}} supseteq { mathcal {B}}}$ , definovat funkce indikátoru:

{ displaystyle mathbf {1} _ {A} ( omega) = { begin {cases} 1 ; & { text {if}} omega v A, 0 ; & { text { if}} omega notin A, end {případy}}}

což je náhodná proměnná. Všimněte si, že očekávání této náhodné proměnné se rovná pravděpodobnosti A sám:

{ displaystyle operatorname {E} ( mathbf {1} _ {A}) = operatorname {P} (A). ;}

Pak podmíněná pravděpodobnost daný ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {B}}}$ je funkce ${ displaystyle scriptstyle operatorname {P} ( cdot mid { mathcal {B}}): { mathcal {A}} krát Omega na [0,1]}$ takhle ${ displaystyle scriptstyle operatorname {P} (A mid { mathcal {B}})}$ je podmíněné očekávání funkce indikátoru pro ${ displaystyle A}$ :

{ displaystyle operatorname {P} (A mid { mathcal {B}}) = operatorname {E} ( mathbf {1} _ {A} mid { mathcal {B}}) ;}

Jinými slovy, ${ displaystyle scriptstyle operatorname {P} (A mid { mathcal {B}})}$ je ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {B}}}$ -měřitelná funkce uspokojivá

{ displaystyle int _ {B} operatorname {P} (A mid { mathcal {B}}) ( omega) , mathrm {d} operatorname {P} ( omega) = operatorname { P} (A cap B) qquad { text {pro všechny}} quad A v { mathcal {A}}, B v { mathcal {B}}.}

Podmíněná pravděpodobnost je pravidelný -li ${ displaystyle scriptstyle operatorname {P} ( cdot mid { mathcal {B}}) ( omega)}$ je také a míra pravděpodobnosti pro všechny ω ∈ Ω. Očekávání náhodné proměnné s ohledem na pravidelnou podmíněnou pravděpodobnost se rovná jejím podmíněnému očekávání.

Pro triviální sigma algebru ${ displaystyle { mathcal {B}} = { prázdná sada, Omega }}$ podmíněná pravděpodobnost je konstantní funkcí, ${ displaystyle operatorname {P} ! left (A mid { emptyset, Omega } right) equiv operatorname {P} (A).}$
Pro ${ displaystyle A v { mathcal {B}}}$ , jak je uvedeno výše, ${ displaystyle operatorname {P} (A mid { mathcal {B}}) = 1_ {A}.}$

Viz také

Poznámky

^ Park, Kun Il (2018). Základy pravděpodobnosti a stochastické procesy s aplikacemi v komunikaci. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
^ Billingsley (1995), str. 430
^ Billingsley (1995), str. 439

Reference

Billingsley, Patrick (1995). Pravděpodobnost a míra (3. vyd.). New York: John Wiley and Sons.

[KunIlPark-1] Park, Kun Il (2018). Základy pravděpodobnosti a stochastické procesy s aplikacemi v komunikaci. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[2] Billingsley (1995), str. 430

[3] Billingsley (1995), str. 439

[1]

[2]

[3]