Goodman – Nguyen – van Fraassenova algebra - Goodman–Nguyen–van Fraassen algebra

A Goodman – Nguyen – van Fraassenova algebra je typ podmíněná událost algebra (CEA), který standard zakotvuje Booleova algebra bezpodmínečných událostí ve větší algebře, která je sama o sobě booleovská. Cílem (stejně jako u všech CEA) je rovnat podmíněná pravděpodobnost P(A ∩ B) / P(A) s pravděpodobností podmíněné události, P(A → B) pro více než jen triviální volby A, B, a P.

Konstrukce algebry

Daná množina Ω, což je množina možných výsledků, a množina F podmnožin Ω - takže F je soubor možných událostí - považujte za nekonečný kartézský součin formuláře E₁ × E₂ × … × E_n × Ω × Ω × Ω ×…, kde E₁, E₂, … E_n jsou členy F. Takový produkt určuje sadu všech nekonečných sekvencí, jejichž první prvek je v E₁, jehož druhý prvek je v E₂,…, A jehož nth prvek je v E_na všechny jeho prvky jsou v Ω. Všimněte si, že jeden takový produkt je ten, kde E₁ = E₂ = … = E_n = Ω, tj. Množina Ω × Ω × Ω × Ω ×…. Označte tuto sadu jako ${displaystyle {hat {Omega}}}$; je to množina všech nekonečných sekvencí, jejichž prvky jsou v Ω.

Nyní je vytvořena nová booleovská algebra, jejíž prvky jsou podmnožinami ${displaystyle {hat {Omega}}}$. Za prvé, každá událost, která byla dříve představována podmnožinou A z Ω je nyní reprezentováno ${displaystyle {hat {A}}}$ = A × Ω × Ω × Ω ×….

Navíc však pro akce A a B, nechme podmíněnou událost A → B být reprezentován jako následující nekonečné spojení disjunktních množin:

[(A ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪

[A′ × (A ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪

[A′ × A ′ × (A ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪….

Krátce bude vysvětlena motivace pro toto znázornění podmíněných událostí. Konstrukci lze iterovat; A a B samy o sobě mohou být podmíněné události.

Intuitivně bezpodmínečná událost A by měl být reprezentovatelný jako podmíněná událost Ω → A. A skutečně: protože Ω ∩ A = A a Ω ′ = ∅, nekonečné sjednocení představující Ω → A snižuje na A × Ω × Ω × Ω ×….

Nechat ${displaystyle {hat {F}}}$ nyní být sada podmnožin ${displaystyle {hat {Omega}}}$, který obsahuje reprezentace všech událostí v F a jinak je dostatečně velký na to, aby byl uzavřen ve výstavbě podmíněných událostí a pod známým Booleovské operace. ${displaystyle {hat {F}}}$ je booleovská algebra podmíněných událostí, která obsahuje booleovskou algebru odpovídající algebře běžných událostí.

Definice funkce rozšířené pravděpodobnosti

Odpovídající nově vytvořeným logickým objektům, nazývaným podmíněné události, je nová definice funkce pravděpodobnosti, ${displaystyle {hat {P}}}$, na základě standardu pravděpodobnostní funkce P:

${displaystyle {hat {P}}}$(E₁ × E₂ × … E_n × Ω × Ω × Ω ×…) = P(E₁)⋅P(E₂)⋅ … ⋅P(E_n)⋅P(Ω) ⋅P(Ω) ⋅P(Ω) ⋅… = P(E₁)⋅P(E₂)⋅ … ⋅P(E_n), od té doby P(Ω) = 1.

Vyplývá to z definice ${displaystyle {hat {P}}}$ že ${displaystyle {hat {P}}}$ (${displaystyle {hat {A}}}$) = P(A). Tím pádem ${displaystyle {hat {P}}}$ = P přes doménu P.

P(A → B) = P(B|A)

Nyní přichází vhled, který motivuje veškerou předchozí práci. Pro P, původní pravděpodobnostní funkce, P(A′) = 1 – P(A), a proto P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) lze přepsat jako P(A ∩ B) / [1 – P(A′)]. Faktor 1 / [1 - P(A′)], Ale může být zase reprezentován jeho Rozšíření řady Maclaurin, 1 + P(A′) + P(A′)² …. Proto, P(B|A) = P(A ∩ B) + P(A′)P(A ∩ B) + P(A′)²P(A ∩ B) + ….

Pravá strana rovnice je přesně výrazem pravděpodobnosti ${displaystyle {hat {P}}}$ z A → B, právě definovaný jako svazek pečlivě vybraných disjunktních množin. Toto sjednocení lze tedy považovat za podmíněnou událost A→ B, takový, že ${displaystyle {hat {P}}}$(A → B) = P(B|A) pro jakoukoli volbu A, B, a P. Ale od ${displaystyle {hat {P}}}$ = P přes doménu P, klobouková notace je volitelná. Dokud je kontext pochopen (tj. Podmíněná algebra událostí), lze psát P(A → B) = P(B|A), s P nyní funkce rozšířené pravděpodobnosti.

Reference

Bamber, Donald, I. R. Goodman a H. T. Nguyen. 2004. „Srážka z podmíněných znalostí“. Soft Computing 8: 247–255.

Goodman, I. R., R. P. S. Mahler a H. T. Nguyen. 1999. „Co je to algebra podmíněných událostí a proč by vás to mělo zajímat?“ SPIE řízení, Sv. 3720.