Paradox Borel – Kolmogorov - Borel–Kolmogorov paradox
v teorie pravděpodobnosti, Paradox Borel – Kolmogorov (někdy známé jako Borelův paradox) je paradox vztahující se podmíněná pravděpodobnost s ohledem na událost pravděpodobnosti nula (také známý jako a nulová sada ). Je pojmenován po Émile Borel a Andrey Kolmogorov.
Skvělá kruhová hádanka
Předpokládejme, že náhodná proměnná má a rovnoměrné rozdělení na jednotkové sféře. Co je jeho podmíněné rozdělení na velký kruh ? Kvůli symetrii koule by se dalo očekávat, že rozdělení je jednotné a nezávislé na volbě souřadnic. Dvě analýzy však poskytují protichůdné výsledky. Nejprve si všimněte, že volba bodu rovnoměrně na kouli je ekvivalentní výběru zeměpisná délka jednotně od a výběr zeměpisná šířka z s hustotou .[1] Pak se můžeme podívat na dva různé velké kruhy:
- Pokud jsou souřadnice zvoleny tak, aby velká kružnice byla rovník (zeměpisná šířka ), podmíněná hustota pro zeměpisnou délku definované na intervalu je
- Pokud je velký kruh a linie délky s , podmíněná hustota pro na intervalu je
Jedno rozdělení je na kruhu rovnoměrné, druhé nikoli. Přesto se zdá, že oba odkazují na stejný velký kruh v různých souřadnicových systémech.
Mnoho jinak marných argumentů - mezi jinak kompetentními pravděpodobnostmi - zuřilo o tom, který z těchto výsledků je „správný“.
Vysvětlení a důsledky
V případě (1) výše je podmíněná pravděpodobnost, že zeměpisná délka λ leží v sadě E vzhledem k tomu φ = 0 lze zapsat P(λ ∈ E | φ = 0). Teorie elementární pravděpodobnosti naznačuje, že to lze vypočítat jako P(λ ∈ E a φ = 0)/P(φ = 0), ale tento výraz není od té doby přesně definován P(φ = 0) = 0. Teorie měření poskytuje způsob, jak definovat podmíněnou pravděpodobnost pomocí rodiny událostí Rab = {φ : A < φ < b} což jsou vodorovné prstence skládající se ze všech bodů se zeměpisnou šířkou mezi A a b.
Řešení paradoxu je všimnout si, že v případě (2), P(φ ∈ F | λ = 0) je definována pomocí událostí Lab = {λ : A < λ < b}, což jsou luny (vertikální klíny), skládající se ze všech bodů, jejichž zeměpisná délka se pohybuje mezi A a b. Takže ačkoli P(λ ∈ E | φ = 0) a P(φ ∈ F | λ = 0) každý poskytuje rozdělení pravděpodobnosti ve velkém kruhu, jeden z nich je definován pomocí prstenů a druhý pomocí lun. Po tom všem tedy není divu P(λ ∈ E | φ = 0) a P(φ ∈ F | λ = 0) mají různé distribuce.
Koncept podmíněné pravděpodobnosti s ohledem na izolovanou hypotézu, jejíž pravděpodobnost se rovná 0, je nepřípustný. Protože můžeme získat rozdělení pravděpodobnosti pro [zeměpisnou šířku] na meridiánové kružnici, pouze pokud tuto kružnici považujeme za prvek rozkladu celé sférické plochy na meridiánové kružnice s danými póly
… Termín „velký kruh“ je nejednoznačný, dokud neurčíme, jakou omezující operací je jeho vytvoření. Argument intuitivní symetrie předpokládá rovníkový limit; přesto jeden může jíst plátky pomeranče, předpokládat druhý.
Matematické vysvětlení
Abychom porozuměli problému, musíme si uvědomit, že rozdělení na spojitou náhodnou proměnnou je popsáno hustotou F pouze s ohledem na určité opatření μ. Oba jsou důležité pro úplný popis rozdělení pravděpodobnosti. Nebo ekvivalentně musíme plně definovat prostor, ve kterém chceme definovat F.
Nechť Φ a Λ označují dvě náhodné proměnné, které mají hodnoty v Ω1 = [−π/2, π/ 2] respektive Ω2 = [−π, π]. Událost {Φ =φ, Λ =λ} dává bod na kouli S(r) s poloměrem r. Definujeme souřadnicová transformace
pro které získáváme objemový prvek
Navíc pokud ano φ nebo λ je pevná, dostaneme prvky hlasitosti
Nechat
označte společné opatření na , který má hustotu s ohledem na a nechte
Pokud předpokládáme, že hustota je tedy uniformní
Proto, má jednotnou hustotu vzhledem k ale ne s ohledem na Lebesgueovo opatření. Na druhou stranu, má jednotnou hustotu vzhledem k a Lebesgueovo opatření.
Reference
Citace
- ^ A b C Jaynes 2003, str. 1514–1517
- ^ Původně Kolmogorov (1933), přeloženo do Kolmogorov (1956). Zdroj z Pollard (2002)
Zdroje
- Jaynes, E. T. (2003). „15.7 Borel-Kolmogorovův paradox“. Teorie pravděpodobnosti: Logika vědy. Cambridge University Press. 467–470. ISBN 0-521-59271-2. PAN 1992316.
- Fragmentary Edition (1994) (str. 1514–1517) Archivováno 30.09.2018 na Wayback Machine (PostScript formát)
- Kolmogorov, Andrey (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (v němčině). Berlín: Julius Springer.
- Překlad: Kolmogorov, Andrey (1956). „Kapitola V, § 2. Vysvětlení Borellova paradoxu“. Základy teorie pravděpodobnosti (2. vyd.). New York: Chelsea. str. 50–51. ISBN 0-8284-0023-7. Archivovány od originál dne 2018-09-14. Citováno 2009-03-12.
- Pollard, David (2002). „Kapitola 5. Kondicionování, příklad 17.“. Uživatelská příručka k měření teoretické pravděpodobnosti. Cambridge University Press. str. 122–123. ISBN 0-521-00289-3. PAN 1873379.
- Mosegaard, K., a Tarantola, A. (2002). 16 Pravděpodobnostní přístup k inverzním problémům. International Geophysics, 81, 237–265.