Podmíněnost (pravděpodobnost) - Conditioning (probability)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Podmíněná“ pravděpodobnost  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

tento článek používá Značky HTML. Prosím Pomoc změnou označení HTML na Značky Wiki kde se to hodí. Nápovědu k vyhledání nebo nahrazení problematických značek naleznete na stránce instrukce. (Říjen 2020) Konkrétní značky nalezené na této stránce (mohou být i jiné) zahrnují: citovat

Víra závisí na dostupných informacích. Tato myšlenka je formalizována v teorie pravděpodobnosti podle klimatizace. Podmíněné pravděpodobnosti, podmíněná očekávání, a podmíněné rozdělení pravděpodobnosti jsou zpracovávány na třech úrovních: diskrétní pravděpodobnosti, funkce hustoty pravděpodobnosti, a teorie míry. Podmínka vede k nenáhodnému výsledku, pokud je podmínka zcela specifikována; jinak, pokud je podmínka ponechána náhodná, je výsledek podmínění také náhodný.

Podmínka na diskrétní úrovni

Příklad: Férová mince je hodena 10krát; the náhodná proměnná X je počet hlav v těchto 10 losováních a Y - počet hlav v prvních 3 losováních. Navzdory tomu, že Y se objeví před X může se stát, že to někdo ví X ale ne Y.

Podmíněná pravděpodobnost

Vzhledem k tomu X = 1, podmíněná pravděpodobnost události Y = 0 je

${displaystyle mathbb {P} (Y = 0 | X = 1) = {frac {mathbb {P} (Y = 0, X = 1)} {mathbb {P} (X = 1)}} = 0,7}$

Obecněji,

${displaystyle {egin {aligned} mathbb {P} (Y = 0 | X = x) & = {frac {jiné {7} {x}} {jiné {10} {x}}} = {frac {7! ( 10-x)!} {(7-x)! 10!}} && x = 0,1,2,3,4,5,6,7. [4pt] mathbb {P} (Y = 0 | X = x) & = 0 && x = 8,9,10.end {zarovnáno}}}$

Podmíněnou pravděpodobnost lze také považovat za náhodnou proměnnou, - funkci náhodné proměnné X, jmenovitě

${displaystyle mathbb {P} (Y = 0 | X) = {egin {cases} {jin {7} {X}} / {jin {10} {X}} & Xleqslant 7, 0 & X> 7.end {cases} }}$

The očekávání této náhodné proměnné se rovná (bezpodmínečné) pravděpodobnosti,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {P} (Y = 0 | X)) = součet _ {x} mathbb {P} (Y = 0 | X = x) mathbb {P} (X = x) = mathbb { P} (Y = 0),}$

a to,

${displaystyle sum _ {x = 0} ^ {7} {frac {jiné {7} {x}} {jiné {10} {x}}} cdot {frac {1} {2 ^ {10}}} {jiné {10} {x}} = {frac {1} {8}},}$

což je instance zákon celkové pravděpodobnosti ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {P} (A | X)) = mathbb {P} (A).}$

Tím pádem, ${displaystyle mathbb {P} (Y = 0 | X = 1)}$ lze považovat za hodnotu náhodné proměnné ${displaystyle mathbb {P} (Y = 0 | X)}$ souhlasí s X = 1. Na druhou stranu, ${displaystyle mathbb {P} (Y = 0 | X = 1)}$ je dobře definovaný bez ohledu na další možné hodnoty X.

Podmíněné očekávání

Vzhledem k tomu X = 1, podmíněné očekávání náhodné proměnné Y je ${displaystyle mathbb {E} (Y | X = 1) = {frac {3} {10}}}$ Obecněji,

${displaystyle mathbb {E} (Y | X = x) = {frac {3} {10}} x, qquad x = 0, ldots, 10.}$

(V tomto příkladu se jeví jako lineární funkce, ale obecně je nelineární.) Podmíněné očekávání lze také považovat za náhodnou proměnnou, - funkci náhodné proměnné. X, jmenovitě

${displaystyle mathbb {E} (Y | X) = {frac {3} {10}} X.}$

Očekávání této náhodné proměnné se rovná (bezpodmínečnému) očekávání Y,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y | X)) = součet _ {x} mathbb {E} (Y | X = x) mathbb {P} (X = x) = mathbb {E} (Y ),}$

a to,

${displaystyle sum _ {x = 0} ^ {10} {frac {3} {10}} xcdot {frac {1} {2 ^ {10}}} {jiné {10} {x}} = {frac {3 } {2}},}$

nebo jednoduše

${displaystyle mathbb {E} left ({frac {3} {10}} Xight) = {frac {3} {10}} mathbb {E} (X) = {frac {3} {10}} cdot 5 = { frac {3} {2}},}$

což je instance zákon úplného očekávání ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y | X)) = mathbb {E} (Y).}$

Náhodná proměnná ${displaystyle mathbb {E} (Y | X)}$ je nejlepším prediktorem Y daný X. To znamená, že minimalizuje střední čtvercovou chybu ${displaystyle mathbb {E} (Y-f (X)) ^ {2}}$ na třídu všech náhodných proměnných formuláře F(X). Tato třída náhodných proměnných zůstává nedotčena, pokud X je nahrazen řekněme 2X. Tím pádem, ${displaystyle mathbb {E} (Y | 2X) = mathbb {E} (Y | X).}$ To neznamená ${displaystyle mathbb {E} (Y | 2X) = {frac {3} {10}} je 2X;}$ spíše, ${displaystyle mathbb {E} (Y | 2X) = {frac {3} {20}} imes 2X = {frac {3} {10}} X.}$ Zejména, ${displaystyle mathbb {E} (Y | 2X = 2) = {frac {3} {10}}.}$ Obecněji, ${displaystyle mathbb {E} (Y | g (X)) = mathbb {E} (Y | X)}$ pro každou funkci G to je jedna ku jedné na množině všech možných hodnot X. Hodnoty X jsou irelevantní; důležitý je oddíl (označte jej α_X)

${displaystyle Omega = {X = x_ {1}} uplus {X = x_ {2}} uplus tečky}$

vzorkovacího prostoru Ω do disjunktních množin {X = X_n}. (Tady ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ jsou všechny možné hodnoty X.) Vzhledem k libovolnému rozdělení α o Ω lze definovat náhodnou proměnnou E ( Y | α). Ještě pořád, E (E ( Y | α)) = E ( Y ).

Podmíněnou pravděpodobnost lze považovat za zvláštní případ podmíněného očekávání. A to, P ( A | X ) = E ( Y | X ) -li Y je indikátor z A. Podmíněná pravděpodobnost proto také závisí na rozdělení α_X generováno uživatelem X spíše než dál X sám; P ( A | G(X)) = P (A | X) = P (A | α), α = α_X = α_G(X).

Na druhou stranu kondicionování na akci B je dobře definovaný za předpokladu, že ${displaystyle mathbb {P} (B) eq 0,}$ bez ohledu na jakýkoli oddíl, který může obsahovat B jako jedna z několika částí.

Podmíněné rozdělení

Dáno X = x, podmíněné rozdělení Y je

${displaystyle mathbb {P} (Y = y | X = x) = {frac {{jiné {3} {y}} {jiné {7} {xy}}} {jiné {10} {x}}} = { frac {{jiné {x} {y}} {jiné {10-x} {3-y}}} {jiné {10} {3}}}}$

pro 0 ≤ y ≤ min (3, X ). To je hypergeometrická distribuce H ( X; 3, 7 ), nebo ekvivalentně H (3; X, 10-X ). Odpovídající očekávání 0,3 X, získané z obecného vzorce

${displaystyle n {frac {R} {R + W}}}$

pro H ( n; R, Ž ), není nic jiného než podmíněné očekávání E (Y | X = X) = 0.3 X.

Léčení H ( X; 3, 7 ) jako náhodné rozdělení (náhodný vektor ve čtyřrozměrném prostoru všech měr na {0,1,2,3}) lze přijmout jeho očekávání a získat bezpodmínečné rozdělení Y, - binomická distribuce Koš (3, 0,5). Tato skutečnost se rovná rovnosti

${displaystyle sum _ {x = 0} ^ {10} mathbb {P} (Y = y | X = x) mathbb {P} (X = x) = mathbb {P} (Y = y) = {frac {1 } {2 ^ {3}}} {jin {3} {y}}}$

pro y = 0,1,2,3; což je instance zákon celkové pravděpodobnosti.

Podmínka na úrovni hustoty

Příklad. Bod koule X² + y² + z² = 1 je vybrán náhodně podle n-sphere # Generování bodů na povrchu n-míče^[1] Náhodné proměnné X, Y, Z jsou souřadnice náhodného bodu. Hustota spojů X, Y, Z neexistuje (protože koule má nulový objem), ale hustota spáry F_X,Y z X, Y existuje,

${displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = {egin {cases} {frac {1} {2pi {sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} & {ext { if}} x ^ {2} + y ^ {2} <1, 0 a {ext {jinak}}. end {cases}}}$

(Hustota je nekonstantní kvůli nekonstantnímu úhlu mezi koule a letadlo.) Hustota X lze vypočítat integrací,

${displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- infty} ^ {+ infty} f_ {X, Y} (x, y), mathrm {d} y = int _ {- {sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ {sqrt {1-x ^ {2}}}} {frac {mathrm {d} y} {2pi {sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}} }}} ,;}$

výsledek překvapivě nezávisí X v (-1,1),

${displaystyle f_ {X} (x) = {egin {cases} 0,5 & {ext {for}} - 1$

což znamená, že X je rovnoměrně rozloženo na (−1,1). Totéž platí pro Y a Z (a ve skutečnosti pro sekera + podle + cZ kdykoli A² + b² + c² = 1).

Příklad. Níže je uvedeno jiné měřítko výpočtu funkce okrajového rozdělení ^[2][3]

${displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = {frac {3} {4pi}}}$

${displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- {sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ {sqrt {1-y ^ {2} -x ^ { 2}}}} int _ {- {sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ {sqrt {1-x ^ {2}}}} {frac {3mathrm {d} ymathrm {d} z } {4pi}} = 3 {sqrt {1-x ^ {2}}} / 4 ,;}$

Podmíněná pravděpodobnost

Výpočet

Vzhledem k tomu X = 0,5, podmíněná pravděpodobnost události Y ≤ 0,75 je integrál podmíněné hustoty,

${displaystyle f_ {Y | X = 0,5} (y) = {frac {f_ {X, Y} (0,5, y)} {f_ {X} (0,5)}} = {egin {cases} {frac {1} {pi {sqrt {0,75-y ^ {2}}}}} & {ext {for}} - {sqrt {0,75}}$

${displaystyle mathbb {P} (Yleq 0,75 | X = 0,5) = int _ {- infty} ^ {0,75} f_ {Y | X = 0,5} (y), mathrm {d} y = int _ {- {sqrt { 0,75}}} ^ {0,75} {frac {mathrm {d} y} {pi {sqrt {0,75-y ^ {2}}}}} = {frac {1} {2}} + {frac {1} { pi}} arcsin {sqrt {0,75}} = {frac {5} {6}}.}$

Obecněji,

${displaystyle mathbb {P} (Yleq y | X = x) = {frac {1} {2}} + {frac {1} {pi}} arcsin {frac {y} {sqrt {1-x ^ {2} }}}}$

pro všechny X a y takové, že −1 < X <1 (jinak jmenovatel F_X(X) zmizí) a ${displaystyle extstyle - {sqrt {1-x ^ {2}}}$ (jinak podmíněná pravděpodobnost degeneruje na 0 nebo 1). Podmíněnou pravděpodobnost lze také považovat za náhodnou proměnnou, - funkci náhodné proměnné X, jmenovitě

${displaystyle mathbb {P} (Yleq y | X) = {egin {cases} 0 & {ext {for}} X ^ {2} geq 1-y ^ {2} {ext {and}} y <0, { frac {1} {2}} + {frac {1} {pi}} arcsin {frac {y} {sqrt {1-X ^ {2}}}} a {ext {for}} X ^ {2} < 1-y ^ {2}, 1 & {ext {for}} X ^ {2} geq 1-y ^ {2} {ext {and}} y> 0.end {cases}}}$

Očekávání této náhodné proměnné se rovná (bezpodmínečné) pravděpodobnosti,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {P} (Yleq y | X)) = int _ {- infty} ^ {+ infty} mathbb {P} (Yleq y | X = x) f_ {X} (x), mathrm {d} x = mathbb {P} (Yleq y),}$

což je instance zákon celkové pravděpodobnosti E (P ( A | X )) = P ( A ).

Výklad

Podmíněná pravděpodobnost P ( Y ≤ 0.75 | X = 0.5 ) nelze interpretovat jako P ( Y ≤ 0.75, X = 0,5) / P ( X = 0.5 ), protože ten dává 0/0. V souladu s tím P ( Y ≤ 0.75 | X = 0.5 ) nelze interpretovat pomocí empirických frekvencí, protože přesná hodnota X = 0,5 nemá šanci objevit se náhodně, dokonce ani jednou během nekonečného sledu nezávislých studií.

Podmíněnou pravděpodobnost lze interpretovat jako limit,

${displaystyle {egin {aligned} mathbb {P} (Yleq 0,75 | X = 0,5) & = lim _ {varepsilon o 0+} mathbb {P} (Yleq 0,75 | 0,5-varepsilon$

Podmíněné očekávání

Podmíněné očekávání E ( Y | X = 0.5 ) je malý zájem; mizí jen symetrií. Je zajímavější to vypočítat E (|Z| | X = 0.5 ) ošetřování |Z| jako funkce X, Y:

${displaystyle {egin {aligned} | Z | & = h (X, Y) = {sqrt {1-X ^ {2} -Y ^ {2}}}; mathrm {E} (| Z || X = 0,5) & = int _ {- infty} ^ {+ infty} h (0,5, y) f_ {Y | X = 0,5} (y), mathrm {d} y = & = int _ {- {sqrt {0,75 }}} ^ {+ {sqrt {0,75}}} {sqrt {0,75-y ^ {2}}} cdot {frac {mathrm {d} y} {pi {sqrt {0,75-y ^ {2}}}} } & = {frac {2} {pi}} {sqrt {0,75}}. konec {zarovnáno}}}$

Obecněji,

${displaystyle mathbb {E} (| Z || X = x) = {frac {2} {pi}} {sqrt {1-x ^ {2}}}}$

pro −1 < X <1. Lze také považovat podmíněné očekávání za náhodnou proměnnou, - funkci náhodné proměnné X, jmenovitě

${displaystyle mathbb {E} (| Z || X) = {frac {2} {pi}} {sqrt {1-X ^ {2}}}.}$

Očekávání této náhodné proměnné se rovná (bezpodmínečnému) očekávání |Z|,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (| Z || X)) = int _ {- infty} ^ {+ infty} mathbb {E} (| Z || X = x) f_ {X} (x ), mathrm {d} x = mathbb {E} (| Z |),}$

a to,

${displaystyle int _ {- 1} ^ {+ 1} {frac {2} {pi}} {sqrt {1-x ^ {2}}} cdot {frac {mathrm {d} x} {2}} = { frac {1} {2}},}$

což je instance zákon úplného očekávání E (E ( Y | X )) = E ( Y ).

Náhodná proměnná E (|Z| | X) je nejlepším prediktorem |Z| daný X. To znamená, že minimalizuje střední čtvercovou chybu E (|Z| - F(X) )² na třídu všech náhodných proměnných formuláře F(X). Podobně jako v diskrétním případě E (|Z| | G(X)) = E (|Z| | X ) pro každou měřitelnou funkci G to je jedna ku jedné na (-1,1).

Podmíněné rozdělení

Dáno X = x, podmíněné rozdělení Y, dané hustotou F_Y|X=X(y), je (změněná) distribuce arcsinu; jeho kumulativní distribuční funkce je

${displaystyle F_ {Y | X = x} (y) = mathbb {P} (Yleq y | X = x) = {frac {1} {2}} + {frac {1} {pi}} arcsin {frac { y} {sqrt {1-x ^ {2}}}}}$

pro všechny X a y takhle X² + y² <1. Odpovídající očekávání h(X,Y) není nic jiného než podmíněné očekávání E ( h(X,Y) | X=X ). The směs těchto podmíněných distribucí, které jsou brány pro všechny X (podle rozdělení X) je bezpodmínečné rozdělení Y. Tato skutečnost se rovná rovnosti

${displaystyle {egin {aligned} & int _ {- infty} ^ {+ infty} f_ {Y | X = x} (y) f_ {X} (x), mathrm {d} x = f_ {Y} (y) , & int _ {- infty} ^ {+ infty} F_ {Y | X = x} (y) f_ {X} (x), mathrm {d} x = F_ {Y} (y), konec {zarovnáno} }}$

druhý je instancí zákona o úplné pravděpodobnosti zmíněno výše.

Co není klimatizace

Na diskrétní úrovni je kondicionování možné pouze v případě, že podmínka je nenulová pravděpodobnost (nelze ji dělit nulou). Na úrovni hustoty, klimatizace zapnuta X = X je možné, i když P ( X = X ) = 0. Tento úspěch může vytvořit iluzi, že podmíněnost je vždy možný. Bohužel tomu tak není, a to z několika níže uvedených důvodů.

Geometrická intuice: opatrnost

Výsledek P ( Y ≤ 0.75 | X = 0.5 ) = 5/6, výše, je geometricky evidentní v následujícím smyslu. Body (X,y,z) koule X² + y² + z² = 1, splňující podmínku X = 0,5, jsou kruh y² + z² = 0,75 poloměru ${displaystyle {sqrt {0,75}}}$ v letadle X = 0,5. Nerovnost y ≤ 0,75 drží na oblouku. Délka oblouku je 5/6 délky kruhu, proto je podmíněná pravděpodobnost rovna 5/6.

Toto úspěšné geometrické vysvětlení může vytvořit iluzi, že následující otázka je triviální.

Bod dané koule je vybrán náhodně (jednotně). Vzhledem k tomu, že bod leží na dané rovině, jaké je jeho podmíněné rozdělení?

Může se zdát evidentní, že podmíněné rozdělení musí být na dané kružnici (průsečík dané koule a dané roviny) rovnoměrné. Někdy to opravdu je, ale obecně tomu tak není. Zvláště, Z je distribuován rovnoměrně na (-1, + 1) a nezávisle na poměru Y/X, tím pádem, P ( Z ≤ 0.5 | Y/X ) = 0.75. Na druhé straně nerovnost z ≤ 0,5 drží na oblouku kruhu X² + y² + z² = 1, y = cx (pro všechny dané C). Délka oblouku je 2/3 délky kruhu. Podmíněná pravděpodobnost je však 3/4, nikoli 2/3. Toto je projev klasického Borellova paradoxu.^[4][5]

Odvolání k symetrii mohou být zavádějící, pokud nejsou formalizována jako invariantní argumenty.

— Otruby^[6]

Další příklad. A náhodné střídání trojrozměrného prostoru je rotace o náhodný úhel kolem náhodné osy. Geometrická intuice naznačuje, že úhel je nezávislý na ose a je rovnoměrně rozložen. Ten druhý je však špatný; malé hodnoty úhlu jsou méně pravděpodobné.

Omezující postup

Vzhledem k události B nulové pravděpodobnosti, vzorec ${displaystyle extstyle mathbb {P} (A | B) = mathbb {P} (Acap B) / mathbb {P} (B)}$ je k ničemu, je možné to zkusit ${displaystyle extstyle mathbb {P} (A | B) = lim _ {n o infty} mathbb {P} (Acap B_ {n}) / mathbb {P} (B_ {n})}$ pro vhodný sled událostí B_n nenulové pravděpodobnosti takové, že B_n ↓ B (to znamená, ${displaystyle extstyle B_ {1} supset B_ {2} supset dots}$ a ${displaystyle extstyle B_ {1} cap B_ {2} cap dots = B}$). Je uveden jeden příklad výše. Další dva příklady jsou Brownův most a Brownova exkurze.

V posledních dvou příkladech je zákon celkové pravděpodobnosti irelevantní, protože je uvedena pouze jedna událost (podmínka). Naproti tomu v příkladu výše zákon totální pravděpodobnosti platí, od události X = 0,5 je zahrnuto do rodiny událostí X = X kde X přeběhne (−1,1) a tyto události jsou oddílem prostoru pravděpodobnosti.

Aby se předešlo paradoxům (např Borelův paradox ), je třeba vzít v úvahu následující důležité rozlišení. Pokud je daná událost nenulová pravděpodobnost, pak je její podmínění dobře definované (bez ohledu na jakékoli jiné události), jak bylo uvedeno výše. Naproti tomu, pokud je daná událost nulová pravděpodobnost, pak je její podmínění špatně definováno, pokud není poskytnut nějaký další vstup. Špatná volba tohoto dodatečného vstupu vede ke špatným podmíněným pravděpodobnostem (očekávání, rozdělení). V tomto smyslu, "koncept podmíněné pravděpodobnosti s ohledem na izolovanou hypotézu, jejíž pravděpodobnost se rovná 0, je nepřípustný." (Kolmogorov.^[6]

Dalším vstupem může být (a) symetrie (invariantní skupina); b) sled událostí B_n takhle B_n ↓ B, P ( B_n )> 0; c) oddíl obsahující danou událost. Podmíněná teoretická podmínka (níže) zkoumá případ (c), popisuje jeho vztah k (b) obecně a k (a), pokud je to relevantní.

Některé události s nulovou pravděpodobností jsou mimo možnosti podmínění. Příklad: let X_n být nezávislé náhodné proměnné rovnoměrně rozložené na (0,1) a B událost "X_n → 0 tak jako n → ∞"; co takhle P ( X_n < 0.5 | B ) ? Má tendenci k 1, nebo ne? Další příklad: let X být náhodná proměnná rovnoměrně rozdělená na (0,1) a B událost "X je racionální číslo “; a co P ( X = 1/n | B ) ? Jedinou odpovědí je, že opět

koncept podmíněné pravděpodobnosti s ohledem na izolovanou hypotézu, jejíž pravděpodobnost se rovná 0, je nepřípustný.

— Kolmogorov^[6]

Podmínka na úrovni teorie míry

Příklad. Nechat Y být náhodná proměnná rovnoměrně rozdělená na (0,1) a X = F(Y) kde F je daná funkce. Níže jsou uvedeny dva případy: F = F₁ a F = F₂, kde F₁ je spojitá po částech lineární funkce

${displaystyle f_ {1} (y) = {egin {cases} 3y & {ext {for}} 0leq yleq 1/3, 1,5 (1-y) & {ext {for}} 1 / 3leq yleq 2/3, 0.5 & {ext {for}} 2 / 3leq yleq 1, end {cases}}}$

a F₂ je Funkce Weierstrass.

Geometrická intuice: opatrnost

Dáno X = 0,75, dvě hodnoty Y jsou možné, 0,25 a 0,5. Může se zdát evidentní, že obě hodnoty mají podmíněnou pravděpodobnost 0,5 jen proto, že jeden bod je shodný do jiného bodu. To je však iluze; viz. níže.

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost P ( Y ≤ 1/3 | X ) lze definovat jako nejlepší prediktor indikátoru

${displaystyle I = {egin {cases} 1 & {ext {if}} Yleq 1/3, 0 & {ext {else}}, end {cases}}}$

daný X. To znamená, že minimalizuje střední čtvercovou chybu E ( Já - G(X) )² na třídu všech náhodných proměnných formuláře G (X).

V případě F = F₁ příslušnou funkci G = G₁ lze vypočítat výslovně,^{[podrobnosti 1]}

${displaystyle g_ {1} (x) = {egin {cases} 1 & {ext {for}} 0$

Alternativně lze použít omezující postup,

${displaystyle g_ {1} (x) = lim _ {varepsilon o 0+} mathbb {P} (Yleq 1/3 | x-varepsilon leq Xleq x + varepsilon) ,,}$

dává stejný výsledek.

Tím pádem, P ( Y ≤ 1/3 | X ) = G₁ (X). Očekávání této náhodné proměnné se rovná (bezpodmínečné) pravděpodobnosti, E (P ( Y ≤ 1/3 | X )) = P ( Y ≤ 1/3 ), a to,

${displaystyle 1cdot mathbb {P} (X <0,5) + 0cdot mathbb {P} (X = 0,5) + {frac {1} {3}} cdot mathbb {P} (X> 0,5) = 1cdot {frac {1} {6}} + 0cdot {frac {1} {3}} + {frac {1} {3}} cdot left ({frac {1} {6}} + {frac {1} {3}} ight) = {frac {1} {3}},}$

což je instance zákon celkové pravděpodobnosti E (P ( A | X )) = P ( A ).

V případě F = F₂ příslušnou funkci G = G₂ pravděpodobně nelze výslovně vypočítat. Přesto existuje a lze jej vypočítat numericky. Opravdu prostor L₂ (Ω) všech čtvercových integrovatelných náhodných proměnných je a Hilbertův prostor; indikátor Já je vektorem tohoto prostoru; a náhodné proměnné formuláře G (X) jsou (uzavřený, lineární) podprostor. The ortogonální projekce tohoto vektoru do tohoto podprostoru je dobře definovaný. Lze jej vypočítat numericky pomocí konečně-dimenzionální aproximace do nekonečně dimenzionálního Hilbertova prostoru.

Ještě jednou očekávání náhodné proměnné P ( Y ≤ 1/3 | X ) = G₂ (X) se rovná (bezpodmínečné) pravděpodobnosti, E (P ( Y ≤ 1/3 | X )) = P ( Y ≤ 1/3 ), a to,

${displaystyle int _ {0} ^ {1} g_ {2} (f_ {2} (y)), mathrm {d} y = {frac {1} {3}}.}$

Hilbertův vesmírný přístup však zachází G₂ jako třída ekvivalence funkcí spíše než individuální funkce. Měřitelnost G₂ je zajištěna, ale kontinuita (nebo dokonce Riemannova integrovatelnost ) není. Hodnota G₂ (0,5) je určen jednoznačně, protože bod 0,5 je atom distribuce X. Jiné hodnoty X nejsou atomy, tedy odpovídající hodnoty G₂ (X) nejsou určeny jednoznačně. Ještě jednou, "koncept podmíněné pravděpodobnosti s ohledem na izolovanou hypotézu, jejíž pravděpodobnost se rovná 0, je nepřípustný." (Kolmogorov.^[6]

Alternativně stejná funkce G (budiž G₁ nebo G₂) lze definovat jako Derivát Radon – Nikodym

${displaystyle g = {frac {mathrm {d} u} {mathrm {d} mu}},}$

kde míry μ, ν jsou definovány pomocí

${displaystyle {egin {aligned} mu (B) & = mathbb {P} (Xin B), u (B) & = mathbb {P} (Xin B ,, Yleq {frac {1} {3}}) konec {zarovnaný}}}$

pro všechny sady Borel ${displaystyle Bsubset mathbb {R}.}$ To znamená, μ je (bezpodmínečné) rozdělení X, zatímco ν je jedna třetina jeho podmíněného rozdělení,

${displaystyle u (B) = mathbb {P} (Xin B | Yleq {frac {1} {3}}) mathbb {P} (Yleq {frac {1} {3}}) = {frac {1} {3 }} mathbb {P} (Xin B | Yleq {frac {1} {3}}).}$

Oba přístupy (přes Hilbertův prostor a přes derivát Radon – Nikodym) zacházejí G jako třída ekvivalence funkcí; dvě funkce G a G' jsou považovány za rovnocenné, pokud G (X) = G' (X) téměř jistě. V souladu s tím podmíněná pravděpodobnost P ( Y ≤ 1/3 | X ) je považováno za třídu ekvivalence náhodných proměnných; jako obvykle jsou dvě náhodné proměnné považovány za ekvivalentní, pokud jsou si téměř jisté.

Podmíněné očekávání

Podmíněné očekávání ${displaystyle mathbb {E} (Y | X)}$ lze definovat jako nejlepší prediktor Y daný X. To znamená, že minimalizuje střední čtvercovou chybu ${displaystyle mathbb {E} (Y-h (X)) ^ {2}}$ na třídu všech náhodných proměnných formuláře h(X).

V případě F = F₁ příslušnou funkci h = h₁ lze vypočítat výslovně,^{[podrobnosti 2]}

${displaystyle h_ {1} (x) = {egin {cases} {frac {x} {3}} & 0$

Alternativně lze použít omezující postup,

${displaystyle h_ {1} (x) = lim _ {varepsilon o 0+} mathbb {E} (Y | x-varepsilon leqslant Xleqslant x + varepsilon),}$

dává stejný výsledek.

Tím pádem, ${displaystyle mathbb {E} (Y | X) = h_ {1} (X).}$ Očekávání této náhodné proměnné se rovná (bezpodmínečnému) očekávání, ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y | X)) = mathbb {E} (Y),}$ a to,

${displaystyle int _ {0} ^ {1} h_ {1} (f_ {1} (y)), mathrm {d} y = int _ {0} ^ {frac {1} {6}} {frac {3y } {3}}, mathrm {d} y + int _ {frac {1} {6}} ^ {frac {1} {3}} {frac {2-3y} {3}}, mathrm {d} y + int _ {frac {1} {3}} ^ {frac {2} {3}} {frac {2- {frac {3} {2}} (1-y)} {3}}, mathrm {d } y + int _ {frac {2} {3}} ^ {1} {frac {5} {6}}, mathrm {d} y = {frac {1} {2}},}$

což je instance zákon úplného očekávání ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y | X)) = mathbb {E} (Y).}$

V případě F = F₂ příslušnou funkci h = h₂ pravděpodobně nelze výslovně vypočítat. Přesto existuje a lze jej vypočítat numericky stejným způsobem jako G₂ výše, - jako ortogonální projekce v Hilbertově prostoru. Zákon totálního očekávání platí, protože projekce nemůže změnit skalární součin konstantou 1 patřící do podprostoru.

Alternativně stejná funkce h (budiž h₁ nebo h₂) lze definovat jako Derivát Radon – Nikodym

${displaystyle h = {frac {mathrm {d} u} {mathrm {d} mu}},}$

kde míry μ, ν jsou definovány pomocí

${displaystyle {egin {aligned} mu (B) & = mathbb {P} (Xin B) u (B) & = mathbb {E} (Y, Xin B) end {aligned}}}$

pro všechny sady Borel ${displaystyle Bsubset mathbb {R}.}$ Tady ${displaystyle mathbb {E} (Y; A)}$ je omezené očekávání, nesmí být zaměňováno s podmíněným očekáváním ${displaystyle mathbb {E} (Y | A) = mathbb {E} (Y; A) / mathbb {P} (A).}$

Podmíněné rozdělení

V případě F = F₁ podmíněné kumulativní distribuční funkce lze vypočítat výslovně, podobně jako G₁. Postup omezení poskytuje:

${displaystyle F_ {Y | X = {frac {3} {4}}} (y) = mathbb {P} vlevo (Yleqslant yleft | X = {frac {3} {4}} ight.ight) = lim _ { varepsilon o 0 ^ {+}} mathbb {P} vlevo (Yleqslant yleft | {frac {3} {4}} - varepsilon leqslant Xleqslant {frac {3} {4}} + varepsilon ight.ight) = {egin {případy } 0 & -infty$

což nemůže být správné, protože kumulativní distribuční funkce musí být pravý spojitý!

Tento paradoxní výsledek je vysvětlen teorií opatření následovně. Za dané y korespondence ${displaystyle F_ {Y | X = x} (y) = mathbb {P} (Yleqslant y | X = x)}$ je dobře definován (prostřednictvím Hilbertovho prostoru nebo derivátu Radon-Nikodym) jako třída ekvivalence funkcí ( X). Považováno za funkci y za dané X je špatně definován, pokud není poskytnut nějaký další vstup. Jmenovitě funkce (z X) musí být vybrán v každé (nebo alespoň téměř každé) třídě ekvivalence. Špatná volba vede ke špatným funkcím podmíněné kumulativní distribuce.

Správnou volbu lze provést následovně. Za prvé, ${displaystyle F_ {Y | X = x} (y) = mathbb {P} (Yleqslant y | X = x)}$ se uvažuje pro racionální čísla y pouze. (Jakákoli jiná hustá spočetná množina může být použita stejně dobře.) Je tedy použita pouze spočetná množina tříd ekvivalence; všechny volby funkcí v těchto třídách jsou vzájemně ekvivalentní a odpovídající funkce racionální y je dobře definovaný (pro téměř všechny X). Za druhé, funkce je rozšířena z racionálních čísel na reálná čísla pravou spojitostí.

Obecně je podmíněné rozdělení definováno téměř pro všechny X (podle rozdělení X), ale někdy je výsledek v X, v tom případě jsou jednotlivé hodnoty přijatelné. V uvažovaném příkladu je tomu tak; správný výsledek pro X = 0.75,

${displaystyle F_ {Y | X = {frac {3} {4}}} (y) = mathbb {P} vlevo (Yleqslant yleft | X = {frac {3} {4}} ight.ight) = {egin { cases} 0 & -infty$

ukazuje, že podmíněné rozdělení Y daný X = 0,75 se skládá ze dvou atomů, při 0,25 a 0,5, pravděpodobností 1/3 a 2/3.

Podobně lze podmíněné rozdělení vypočítat pro všechny X v (0, 0,5) nebo (0,5, 1).

Hodnota X = 0,5 je atom distribuce X, tedy odpovídající podmíněné rozdělení je dobře definované a lze jej vypočítat elementárními prostředky (jmenovatel nezmizí); podmíněné rozdělení Y daný X = 0,5 je uniformní na (2/3, 1). Teorie měření vede ke stejnému výsledku.

Směs všech podmíněných distribucí je (bezpodmínečné) rozdělení Y.

Podmíněné očekávání ${displaystyle mathbb {E} (Y | X = x)}$ není nic jiného než očekávání s ohledem na podmíněné rozdělení.

V případě F = F₂ korespondence ${displaystyle F_ {Y | X = x} (y) = mathbb {P} (Yleqslant y | X = x)}$ pravděpodobně nelze výslovně vypočítat. Za dané y je dobře definován (přes Hilbertův prostor nebo derivát Radon-Nikodym) jako třída ekvivalence funkcí ( X). Správný výběr funkcí v rámci těchto tříd ekvivalence lze provést výše; vede ke správným funkcím podmíněného kumulativního rozdělení, tedy k podmíněnému rozdělení. Podmíněné distribuce obecně nemusí být atomový nebo absolutně kontinuální (ani směsi obou typů). Pravděpodobně v uvažovaném příkladu jsou jednotné číslo (jako Distribuce Cantor ).

Směs všech podmíněných distribucí je opět (bezpodmínečné) rozdělení a podmíněné očekávání je očekávání vzhledem k podmíněnému rozdělení.

Technické údaje

Viz také

• Podmíněná pravděpodobnost
• Podmíněné očekávání
• Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti
• Společné rozdělení pravděpodobnosti
• Borelův paradox
• Pravidelná podmíněná pravděpodobnost
• Věta o dezintegraci
• Zákon totální odchylky
• Zákon totální kumulace

Poznámky

Reference

• Durrett, Richard (1996), Pravděpodobnost: teorie a příklady (Druhé vydání)
• Pollard, David (2002), Uživatelská příručka k měření teoretické pravděpodobnosti, Cambridge University Press
• Draheim, Dirk (2017) Zevšeobecněná Jeffreyova kondicionace (častá sémantika částečné kondicionace) Springer