Přísnost opatření - Tightness of measures

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, těsnost je koncept v teorie míry. Intuitivní myšlenka je, že daná kolekce opatření „neunikne nekonečno."

Definice

Nechat ${displaystyle (X, T)}$ být Hausdorffův prostor a nechte ${displaystyle Sigma}$ být σ-algebra na ${displaystyle X}$ který obsahuje topologii ${displaystyle T}$. (Tedy každý otevřená podmnožina z ${displaystyle X}$ je měřitelná množina a ${displaystyle Sigma}$ je přinejmenším stejně dobrý jako Borel σ-algebra na ${displaystyle X}$.) Nechte ${displaystyle M}$ být sbírkou (případně podepsaný nebo komplex ) opatření definovaná dne ${displaystyle Sigma}$. Sbírka ${displaystyle M}$ je nazýván těsný (nebo někdy rovnoměrně těsné) pokud, pro všechny ${displaystyle varepsilon> 0}$, tady je kompaktní podmnožina ${displaystyle K_ {varepsilon}}$ z ${displaystyle X}$ taková, že pro všechna opatření ${displaystyle mu in M}$,

${displaystyle | mu | (Xsetminus K_ {varepsilon})$

kde ${displaystyle | mu |}$ je celková variační míra z ${displaystyle mu}$. Dotyčná opatření jsou velmi často pravděpodobnostní opatření, takže poslední část lze psát jako

${displaystyle mu (K_ {varepsilon})> 1-varepsilon.,}$

Pokud je těsný sběr ${displaystyle M}$ sestává z jediného opatření ${displaystyle mu}$, pak (v závislosti na autorovi) ${displaystyle mu}$ lze buď říci, že přísná míra nebo být vnitřní pravidelná míra.

Li ${displaystyle Y}$ je ${displaystyle X}$-hodnota náhodná proměnná jehož rozdělení pravděpodobnosti na ${displaystyle X}$ je tedy přísné opatření ${displaystyle Y}$ se říká, že je oddělitelná náhodná proměnná nebo a Radonová náhodná proměnná.

Příklady

Kompaktní prostory

Li ${displaystyle X}$ je měřitelné kompaktní prostor, pak každá kolekce (možná složitých) opatření ${displaystyle X}$ je těsný. U neměřitelných kompaktních prostorů to tak nemusí být. Pokud vezmeme ${displaystyle [0, omega _ {1}]}$ s jeho topologie objednávky, pak existuje opatření ${displaystyle mu}$ na tom není vnitřní pravidelnost. Proto singleton ${displaystyle {mu}}$ není těsný.

Polské prostory

Li ${displaystyle X}$ je kompaktní Polský prostor, pak každé pravděpodobnostní opatření zapnuto ${displaystyle X}$ je těsný. Dále tím, že Prochorovova věta, soubor pravděpodobnostních opatření na ${displaystyle X}$ je těsný, pokud a jen pokud je precompact v topologii slabá konvergence.

Sbírka bodových hmot

Zvažte skutečná linie ${displaystyle mathbb {R}}$ s obvyklou borelskou topologií. Nechat ${displaystyle delta _ {x}}$ označit Diracova míra, jednotková hmotnost v bodě ${displaystyle x}$ v ${displaystyle mathbb {R}}$. Sbírka

${displaystyle M_ {1}: = {delta _ {n} | nin mathbb {N}}}$

není těsný, protože kompaktní podmnožiny ${displaystyle mathbb {R}}$ jsou přesně Zavřeno a ohraničený podmnožiny a každá taková množina, protože je omezená, má ${displaystyle delta _ {n}}$- změřte nulu na dostatečně velkou ${displaystyle n}$. Na druhé straně kolekce

${displaystyle M_ {2}: = {delta _ {1 / n} | nin mathbb {N}}}$

je těsný: kompaktní interval ${displaystyle [0,1]}$ bude fungovat jako ${displaystyle K_ {varepsilon}}$ pro všechny ${displaystyle varepsilon> 0}$. Obecně platí, že soubor deltackých delta opatření měří ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je těsný, a to pouze v případě, že sběr jejich podporuje je omezený.

Sbírka Gaussových opatření

Zvážit ${displaystyle n}$-dimenzionální Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ s obvyklou Borelovou topologií a σ-algebrou. Zvažte sbírku Gaussovy míry

${displaystyle Gamma = {gamma _ {i} | iin I},}$

kde opatření ${displaystyle gamma _ {i}}$ má očekávaná hodnota (znamenat ) ${displaystyle m_ {i} v mathbb {R} ^ {n}}$ a kovarianční matice ${displaystyle C_ {i} in mathbb {R} ^ {n imes n}}$. Pak kolekce ${displaystyle Gamma}$ je těsný, pokud, a pouze pokud, sbírky ${displaystyle {m_ {i} | iin I} subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ a ${displaystyle {C_ {i} | iin I} subseteq mathbb {R} ^ {n imes n}}$ jsou omezené.

Těsnost a konvergence

Těsnost je často nezbytným kritériem pro prokázání slabá konvergence posloupnosti pravděpodobnostních měr, zvláště když má měrný prostor nekonečný dimenze. Vidět

• Konečně-dimenzionální distribuce
• Prochorovova věta
• Lévy – Prochorovova metrika
• Slabá konvergence opatření
• Těsnost v klasickém Wienerově prostoru
• Těsnost v prostoru Skorokhod

Exponenciální těsnost

Posílení těsnosti je koncept exponenciální těsnosti, který má aplikace v teorie velkých odchylek. Rodina pravděpodobnostní opatření ${displaystyle (mu _ {delta}) _ {delta> 0}}$ na Hausdorff topologický prostor ${displaystyle X}$ se říká, že je exponenciálně těsné pokud vůbec ${displaystyle varepsilon> 0}$, existuje kompaktní podmnožina ${displaystyle K_ {varepsilon}}$ z ${displaystyle X}$ takhle

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (Xsetminus K_ {varepsilon}) <- varepsilon.}$

Reference

• Billingsley, Patrick (1995). Pravděpodobnost a míra. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Konvergence pravděpodobnostních opatření. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-19745-9.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Pravděpodobnost v Banachových prostorech. Berlín: Springer-Verlag. str. xii + 480. ISBN  3-540-52013-9. PAN1102015 (Viz kapitola 2)