Konzola Nijenhuis – Richardson - Nijenhuis–Richardson bracket - Wikipedia

v matematika, algebraická závorka nebo Konzola Nijenhuis – Richardson je klasifikovaná Lieova algebra struktura v prostoru střídavé multilineární formy a vektorový prostor pro sebe, představil A. Nijenhuis a R. W. Richardson, Jr. (1966, 1967). Souvisí to s, ale ne stejně jako Držák Frölicher – Nijenhuis a Držák Schouten – Nijenhuis.

Definice

Primární motivací pro zavedení držáku bylo vyvinout jednotný rámec pro diskusi o všem možném Lež algebra struktury ve vektorovém prostoru a následně deformace těchto struktur. Li PROTI je vektorový prostor a p ≥ −1 je celé číslo, nechť

${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {p} (V) = ({ bigwedge} ^ {p + 1} V ^ {*}) otimes V}$

být prostorem celé symetrie zešikmení (p + 1)-multilineární mapování PROTI pro sebe. Přímý součet Alt (PROTI) je odstupňovaný vektorový prostor. A Lež algebra struktura zapnuta PROTI je určena šikmo symetrickou bilineární mapou μ : PROTI × PROTI → PROTI. To znamená, μ je prvek Alt¹(PROTI). Dále μ musí poslouchat Jacobi identita. Konzola Nijenhuis – Richardson poskytuje systematické vyjádření této identity ve formě [μ, μ] = 0.

Podrobně je závorka bilineární operace závorky definovaná na Alt (PROTI) jak následuje. Na homogenních prvcích P ∈ Alt^p(PROTI) a Q ∈ Alt^q(PROTI), konzola Nijenhuis – Richardson [P, Q]^∧ ∈ Alt^p+q(PROTI) je dána

${ displaystyle [P, Q] ^ { land} = i_ {P} Q - (- 1) ^ {pq} i_ {Q} P.}$

Tady vnitřní produkt i_P je definováno

${ displaystyle (i_ {P} Q) (X_ {0}, X_ {1}, ldots, X_ {p + q}) = sum _ { sigma v Sh_ {q + 1, p}} mathrm {sgn} ( sigma) P (Q (X _ { sigma (0)}, X _ { sigma (1)}, ldots, X _ { sigma (q)}), X _ { sigma (q + 1)}, ldots, X _ { sigma (p + q)})}$

kde je součet nade vše (q + 1, p) - zamíchá indexů, tj. permutací ${ displaystyle sigma}$ z ${ displaystyle {0, ldots, p + q }}$ takhle ${ displaystyle sigma (0) < cdots < sigma (q)}$ a ${ Displaystyle sigma (q + 1) < cdots < sigma (p + q)}$.

Na nehomogenních prvcích je držák rozšířen o bilinearitu.

Odvození kruhu forem

Nijenhuis – Richardsonova závorka může být definována na vektorových hodnotách Ω^*(M, T(M)) na hladkém potrubí Mpodobným způsobem. Formy s vektorovou hodnotou fungují jako derivace na superkomutativním kruhu Ω^*(M) formulářů na Mtím, že K. k odvození i_K.a konzola Nijenhuis – Richardson odpovídá komutátoru dvou derivací. To identifikuje Ω^*(M, T(M)) s algebrou derivací, které mizí na hladkých funkcích. Ne všechny derivace jsou této formy; strukturu celého kruhu všech derivací naleznete v článku Držák Frölicher – Nijenhuis.

Držák Nijenhuis – Richardson a držák Frölicher – Nijenhuis vytvářejí Ω^*(M, T(M)) do odstupňované superalgebry, ale mají různé stupně.

Reference

• Lecomte, Pierre; Michor, Peter W .; Schicketanz, Hubert (1992). „Multigraded Nijenhuis – Richardson algebra, její univerzální vlastnost a použití“. J. Pure Appl. Algebra. 77 (1): 87–102. doi:10.1016 / 0022-4049 (92) 90032-B.
• Michor, P. W. (2001) [1994], „Držák Frölicher – Nijenhuis“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Michor, P.W .; Schicketanz, H. (1989). Msgstr "Kohomologie pro vektorové hodnotové diferenciální formy". Ann. Global Anal. Geom. 7: 163–9. arXiv:math.DG / 9201255. doi:10.1007 / BF00128296.
• Nijenhuis, A .; Richardson, R. (1966). "Kohomologie a deformace v odstupňovaných Lieových algebrách". Býk. Amer. Matematika. Soc. 72: 1–29. CiteSeerX  10.1.1.333.2736. doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11401-5. PAN  0195995.
• Nijenhuis, A .; Richardson, R. (1967). "Deformace struktur algebry Lie". J. Math. Mech. 17: 89–105. JSTOR  24902154.