Kategorie s nejvyšší hmotností - Highest-weight category - Wikipedia

V matematický pole teorie reprezentace, a nejvyšší váhové kategorie je k-lineární kategorie C (tady k je pole ) že

{ displaystyle B cap left ( bigcup _ { alpha} A _ { alpha} right) = bigcup _ { alpha} left (B cap A _ { alpha} right)}

pro všechny podobjekty B a každá rodina podobjektů {A_α} každého objektu X

a takové, že existuje lokálně konečný poset Λ (jehož prvky se nazývají závaží z C), který splňuje následující podmínky:^[2]

Poset Λ indexuje vyčerpávající sadu neizomorfních jednoduché objekty {S(λ)} v C.
Λ také indexuje kolekci objektů {A(λ)} objektů C takové, že existují vložení S(λ) → A(λ) takové, že všechny faktory složení S(μ) z A(λ)/S(λ) uspokojit μ < λ.^[3]
Pro všechny μ, λ v Λ,

{ displaystyle dim _ {k} operatorname {Hom} _ {k} (A ( lambda), A ( mu))}

je konečný a multiplicita^[4]

{ displaystyle [A ( lambda): S ( mu)]}

je také konečný.

{ displaystyle 0 = F_ {0} ( lambda) subseteq F_ {1} ( lambda) subseteq tečky subseteq I ( lambda)}

takhle

${ displaystyle F_ {1} ( lambda) = A ( lambda)}$
pro n > 1, ${ displaystyle F_ {n} ( lambda) / F_ {n-1} ( lambda) cong A ( mu)}$ pro některé μ = μ(n) > λ
pro každého μ v Λ, μ(n) = μ jen konečně mnoho n
${ displaystyle bigcup _ {i} F_ {i} ( lambda) = já ( lambda).}$

Příklady

Kategorie modulu ${ displaystyle k}$ -algebra horního trojúhelníku ${ displaystyle n krát n}$ matice přes ${ displaystyle k}$ .
Tento koncept je pojmenován podle kategorie moduly s nejvyšší hmotností Lie-algebry.
Konečně-dimenzionální ${ displaystyle k}$ -algebra ${ displaystyle A}$ je kvazi-dědičná pokud je jeho kategorie modulu kategorií s nejvyšší hmotností. Zejména všechny kategorie modulů skončily polojednoduchý a dědičný algebry jsou kategorie s nejvyšší hmotností.
A buněčná algebra nad polem je kvazi-dědičná (a tedy její kategorie modulů kategorie s nejvyšší hmotností) iff jeho Cartan-determinant je 1.

^ V tom smyslu, že to připouští svévolně přímé limity z podobjekty a každý objekt je spojením jeho podobjektů konečná délka.
^ Cline a Scott 1988, §3
^ Zde je faktor složení objektu A v C je, podle definice, faktor složení jednoho z jeho subobjektů konečné délky.
^ Tady, pokud A je objekt v C a S je jednoduchý objekt v C, multiplicita [A: S] je podle definice supremem multiplicity S ve všech dílčích objektech konečné délky A.