Bocksteinova spektrální sekvence - Bockstein spectral sequence

V matematice je Bocksteinova spektrální sekvence je spektrální sekvence vztahující se k homologii s modp koeficienty a homologie snížená modp. Je pojmenován po Meyer Bockstein.

Definice

Nechat C být řetězovým komplexem abelianské skupiny bez torze a p A prvočíslo. Pak máme přesnou sekvenci:

${ displaystyle 0 longrightarrow C { overset {p} { longrightarrow}} C { overset {{ text {mod}} p} { longrightarrow}} C otimes mathbb {Z} / p longrightarrow 0 .}$

Užívání integrální homologie H, dostaneme přesný pár „dvakrát hodnocených“ abelianských skupin:

${ displaystyle H _ {*} (C) { overset {i = p} { longrightarrow}} H _ {*} (C) { overset {j} { longrightarrow}} H _ {*} (C otimes mathbb {Z} / p) { overset {k} { longrightarrow}}.}$

kam jde hodnocení: ${ displaystyle H _ {*} (C) _ {s, t} = H_ {s + t} (C)}$ a totéž pro ${ Displaystyle H _ {*} (C otimes mathbb {Z} / p), deg i = (1, -1), deg j = (0,0), deg k = (- 1,0 ).}$

To dává první stránku spektrální sekvence: vezmeme ${ displaystyle E_ {s, t} ^ {1} = H_ {s + t} (C otimes mathbb {Z} / p)}$ s diferenciálem ${ displaystyle {} ^ {1} d = j circ k}$. The odvozený pár výše uvedeného přesného páru pak dává druhou stránku a tak dále. Výslovně ano ${ displaystyle D ^ {r} = p ^ {r-1} H _ {*} (C)}$ který zapadá do přesného páru:

${ displaystyle D ^ {r} { overset {i = p} { longrightarrow}} D ^ {r} { overset {{} ^ {r} j} { longrightarrow}} E ^ {r} { přesahující {k} { longrightarrow}}}$

kde ${ displaystyle {} ^ {r} j = ({ text {mod}} p) circ p ^ {- {r + 1}}}$ a ${ displaystyle deg ({} ^ {r} j) = (- (r-1), r-1)}$ (stupně i, k jsou stejné jako dříve). Nyní, brát ${ displaystyle D_ {n} ^ {r} mnohokrát -}$ z

${ displaystyle 0 longrightarrow mathbb {Z} { overset {p} { longrightarrow}} mathbb {Z} longrightarrow mathbb {Z} / p longrightarrow 0,}$

dostaneme:

${ displaystyle 0 longrightarrow operatorname {Tor} _ {1} ^ { mathbb {Z}} (D_ {n} ^ {r}, mathbb {Z} / p) longrightarrow D_ {n} ^ {r } { overset {p} { longrightarrow}} D_ {n} ^ {r} longrightarrow D_ {n} ^ {r} otimes mathbb {Z} / p longrightarrow 0}$.

To říká jádru a jádru ${ displaystyle D_ {n} ^ {r} { přesahující {p} { longrightarrow}} D_ {n} ^ {r}}$. Rozšířením přesného páru do dlouhé přesné sekvence dostaneme: pro všechny r,

${ displaystyle 0 longrightarrow (p ^ {r-1} H_ {n} (C)) otimes mathbb {Z} / p longrightarrow E_ {n, 0} ^ {r} longrightarrow operatorname {Tor} (p ^ {r-1} H_ {n-1} (C), mathbb {Z} / p) longrightarrow 0}$.

Když ${ displaystyle r = 1}$, je to totéž jako věta o univerzálním koeficientu pro homologii.

Předpokládejme abelianskou skupinu ${ displaystyle H _ {*} (C)}$ je definitivně generován; zejména pouze konečně mnoho cyklických modulů formuláře ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {s}}$ se může zobrazit jako přímý součet ${ displaystyle H _ {*} (C)}$. Pronájem ${ displaystyle r to infty}$ tak vidíme ${ displaystyle E ^ { infty}}$ je izomorfní s ${ displaystyle ({ text {bezplatná část}} H _ {*} (C)) otimes mathbb {Z} / p}$.

Reference

• McCleary, John (2001), Uživatelská příručka k spektrálním sekvencím, Cambridge studia pokročilé matematiky, 58 (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521567599, ISBN  978-0-521-56759-6, PAN  1793722
• J. P. May, Primer na spektrálních sekvencích

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.