Pythagorovo pole - Pythagorean field - Wikipedia

V algebře, a Pythagorovo pole je pole ve kterém každý součet dvou čtverců je čtverec: ekvivalentně má Pythagorovo číslo rovná se 1. A Pythagorovo rozšíření pole ${ displaystyle F}$ je rozšíření získané připojením k prvku ${ displaystyle { sqrt {1+ lambda ^ {2}}}}$ pro některé ${ displaystyle lambda}$ v ${ displaystyle F}$. Pythagorovo pole je tedy jedno uzavřeno pod užívání Pythagorovských rozšíření. Pro jakékoli pole ${ displaystyle F}$ existuje minimální Pythagorovo pole ${ textstyle F ^ { mathrm {py}}}$ obsahující ho, jedinečné až do izomorfismu, volal jeho Pythagorovský uzávěr.^[1] The Hilbertovo pole je minimální seřazené Pythagorovo pole.^[2]

Vlastnosti

Každý Euklidovské pole (an objednané pole ve kterém jsou všechny kladné prvky čtverce) je uspořádané Pythagorovo pole, ale obrácení neplatí.^[3] A kvadraticky uzavřené pole je Pythagorovo pole, ale ne naopak (${ displaystyle mathbf {R}}$ je Pythagorean); nicméně, ne formálně skutečné Pythagorovo pole je kvadraticky uzavřeno.^[4]

The Wittův prsten Pythagorovy pole je řádu 2, pokud pole není formálně skutečné a jinak bez kroucení.^[1] Pro pole ${ displaystyle F}$ tady je přesná sekvence zahrnující Wittovy prsteny

${ displaystyle 0 rightarrow operatorname {Tor} IW (F) rightarrow W (F) rightarrow W (F ^ { mathrm {py}})}$

kde ${ displaystyle IW (F)}$ je základním ideálem Wittova kruhu ${ displaystyle F}$^[5] a ${ displaystyle operatorname {Tor} IW (F)}$ označuje jeho torzní podskupina (což je jen nilradikální z ${ displaystyle W (F)}$).^[6]

Rovnocenné podmínky

Následující podmínky na poli F jsou ekvivalentní k F být Pytagorejcem:

• The Všeobecné u-invariantní u(F) je 0 nebo 1.^[7]
• Li ab není čtverec v F pak je zde objednávka F pro který A, b mají různá znamení.^[8]
• F je průsečík jeho Euklidovské uzávěry.^[9]

Modely geometrie

Pythagorovy pole lze použít ke konstrukci modelů pro některé z nich Hilbertovy axiomy pro geometrii (Iyanaga a Kawada 1980 163 C). Geometrie souřadnic daná vztahem ${ displaystyle F ^ {n}}$ pro ${ displaystyle F}$ Pythagorovo pole splňuje mnoho Hilbertových axiomů, jako jsou axiomy dopadu, axiomy shody a axiomy rovnoběžek. Obecně však tato geometrie nemusí uspokojit všechny Hilbertovy axiomy, pokud pole není F má další vlastnosti: například pokud je pole také uspořádáno, pak geometrie uspokojí Hilbertovy objednávkové axiomy, a pokud je pole také úplné, geometrie uspokojí Hilbertův axiom úplnosti.

Pythagorovský uzávěr a non-archimedean objednané pole, jako je Pythagorovo uzavření pole racionální funkce ${ displaystyle mathbf {Q} (x)}$ v jedné proměnné nad racionálními čísly ${ displaystyle mathbf {Q},}$ lze použít ke konstrukci nearchimédských geometrií, které uspokojí mnoho Hilbertových axiomů, ale ne jeho axiom úplnosti.^[10] Dehn použil takové pole ke konstrukci dvou Dehnovy roviny, příklady nelegendriánská geometrie a semi-euklidovská geometrie respektive, ve kterém existuje mnoho přímek, ačkoli bod neprotínající danou přímku, ale kde součet úhlů trojúhelníku je alespoň π.^[11]

Diller – Věta o oblékání

Tato věta říká, že pokud E/F je konečný rozšíření pole, a E je Pythagorean, tak to také je F.^[12] V důsledku toho ne algebraické číslo pole je Pythagorean, protože všechna taková pole jsou konečná Q, což není Pythagorejec.^[13]

Superpythagorovská pole

A superpythagorovské pole F je formálně reálné pole s vlastností, že pokud S je podskupina indexu 2 v F^∗ a tedy neobsahuje -1 S definuje objednávku na F. Je to ekvivalentní definice F je formálně reálné pole, ve kterém sada čtverců tvoří a fanoušek. Superpythagorovské pole je nutně Pythagorovo pole.^[12]

Analog Diller – Dressovy věty platí: pokud E/F je konečné rozšíření a E je superpythagorean, tak také je F.^[14] V opačném směru, pokud F je superpythagorejský a E je formálně skutečné pole obsahující F a obsažené v kvadratickém uzavření F pak E je superpythagorejský.^[15]

Poznámky

Reference

• Dehn, Max (1900), „Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck“, Mathematische Annalen, 53 (3): 404–439, doi:10.1007 / BF01448980, ISSN  0025-5831, JFM  31.0471.01
• Efrat, Ido (2006), Ocenění, objednávky a Milnor K.-teorieMatematické průzkumy a monografie 124, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-4041-X, Zbl  1103.12002
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), „Kvadratické formy nad formálně reálnými poli a pythagorovskými poli“, American Journal of Mathematics, 94: 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373568, PAN  0314878
• Greenberg, Marvin J. (2010), „Staré a nové výsledky v základech euklidovské a neeuklidovské geometrie elementární roviny“, Dopoledne. Matematika. Pondělí, 117 (3): 198–219, ISSN  0002-9890, Zbl  1206.51015
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, eds. (1980) [1977], Encyklopedický slovník matematiky, svazky I, IIPřeloženo z 2. japonského vydání, brožovaná verze vydání z roku 1977 (1. vydání), MIT Stiskněte, ISBN  978-0-262-59010-5, PAN  0591028
• Lam, T. Y. (1983), Objednávky, ocenění a kvadratické formy, CBMS Regionální konferenční seriál z matematiky, 52, Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-0702-1, Zbl  0516.12001
• Lam, T. Y. (2005), „Kapitola VIII oddíl 4: Pytagorova pole“, Úvod do kvadratických forem nad poli, Postgraduální studium matematiky, 67„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 255–264, ISBN  978-0-8218-1095-8, PAN  2104929
• Martin, George E. (1998), Geometrické konstrukce, Pregraduální texty z matematiky, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98276-0
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symetrické bilineární formuláře, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, Springer-Verlag, ISBN  3-540-06009-X, Zbl  0292.10016
• Rajwade, A. R. (1993), Čtverce, Série přednášek London Mathematical Society, 171, Cambridge University Press, ISBN  0-521-42668-5, Zbl  0785.11022