Univerzální kvadratická forma - Universal quadratic form

V matematice, a univerzální kvadratická forma je kvadratická forma přes prsten který představuje každý prvek prstenu.[1] Non-singulární forma přes pole, které představuje nenulovou non-triviálně, je univerzální.[2]

Příklady

  • Přes reálná čísla, forma X2 v jedné proměnné není univerzální, protože nemůže představovat záporná čísla: tvar dvou proměnných X2 − y2 přes R je univerzální.
  • Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích uvádí, že každé kladné celé číslo je součtem čtyř čtverců. Proto forma X2 + y2 + z2 + t2 − u2 přes Z je univerzální.
  • Přes konečné pole, jakákoli nesingulární kvadratická forma dimenze 2 nebo více je univerzální.[3]

Tvoří se nad racionálními čísly

The Hasse – Minkowského věta znamená, že forma je univerzální Q právě když je univerzální Qstr pro všechny str (kam zahrneme str = ∞, nechat Q∞ označit R).[4] Forma skončila R je univerzální právě tehdy, pokud tomu tak není určitý; forma skončila Qstr je univerzální, pokud má rozměr alespoň 4.[5] Lze usoudit, že všechny neurčité formy dimenze alespoň 4 nad Q jsou univerzální.[4]

Viz také

  • The Věty 15 a 290 dát podmínky, aby kvadratická forma představovala všechna kladná celá čísla.

Reference

  1. ^ Lam (2005), s. 10
  2. ^ Rajwade (1993), s. 146
  3. ^ Lam (2005), s. 36
  4. ^ A b Serre (1973), s. 43
  5. ^ Serre (1973), s. 37
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1095-2. PAN  2104929. Zbl  1068.11023.
  • Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.
  • Serre, Jean-Pierre (1973). Kurz aritmetiky. Postgraduální texty z matematiky. 7. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90040-3. Zbl  0256.12001.