Matice přenosových funkcí - Transfer function matrix

v kontrolní systém teorie a různá odvětví strojírenství, a matice přenosové funkce, nebo prostě přenosová matice je zobecněním přenosové funkce z jeden vstup jeden výstup (SISO) systémy více vstupů a více výstupů (MIMO) systémy.^[1] The matice spojuje výstupy systému s jeho vstupy. Je to zvláště užitečná konstrukce pro lineární časově invariantní (LTI) systémy, protože to lze vyjádřit pomocí s-letadlo.

V některých systémech, zejména v systémech sestávajících výhradně z pasivní komponenty, může být nejednoznačné, které proměnné jsou vstupy a které výstupy. V elektrotechnice je běžným schématem shromažďování všech proměnných napětí na jedné straně a všech aktuálních proměnných na druhé straně bez ohledu na to, které jsou vstupy nebo výstupy. To má za následek, že všechny prvky přenosové matice jsou v jednotkách impedance. Koncept impedance (a tedy impedančních matic) byl vypůjčen do jiných energetických domén analogicky, zejména mechaniky a akustiky.

Mnoho řídicích systémů zahrnuje několik různých energetických domén. To vyžaduje přenosové matice s prvky ve smíšených jednotkách. To je potřeba jak k popisu měniče které vytvářejí spojení mezi doménami a popisují systém jako celek. Pokud má matice správně modelovat energetické toky v systému, musí být zvoleny kompatibilní proměnné, které to umožní.

Všeobecné

Systém MIMO s $m$ výstupy a $n$ vstupy jsou reprezentovány a $m \times n$ matice. Každá položka v matici je ve formě přenosové funkce týkající se výstupu se vstupem. Například pro systém se třemi vstupy a dvěma výstupy lze napsat,

{ displaystyle { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} g_ {21} & g_ {22} & g_ {23} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} u_ {1} u_ {2} u_ {3} end {bmatrix}}}

Kde $u n$ jsou vstupy, $y m$ jsou výstupy a $G mn$ jsou přenosové funkce. To může být stručněji napsáno v zápisu operátoru matice jako,

{ displaystyle mathbf {Y} = mathbf {G} mathbf {U}}

kde $Y$ je vektor sloupce výstupů, $G$ je matice přenosových funkcí a $U$ je sloupcový vektor vstupů.

V mnoha případech je uvažovaný systém a lineární časově invariantní (LTI) systém. V takových případech je vhodné vyjádřit přenosovou matici z hlediska Laplaceova transformace (v případě nepřetržitý čas proměnné) nebo z-transformace (v případě diskrétní čas proměnné) proměnných. To může být naznačeno například psaním

{ displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {G} (s) mathbf {U} (s)}

což naznačuje, že proměnné a matice jsou z hlediska $s$ , komplexní frekvence proměnná s-letadlo vyplývající spíše z Laplaceových transformací než z času. Všechny příklady v tomto článku se předpokládají v této formě, i když to není z důvodu stručnosti výslovně uvedeno. Pro diskrétní časové systémy $s$ je nahrazen $z$ z transformace z, ale to nemá žádný vliv na následnou analýzu. Matice je zvláště užitečná, když je a správná racionální matice, to znamená, že všechny jeho prvky jsou správné racionální funkce. V tomto případě reprezentace stavového prostoru lze použít.^[2]

V systémovém inženýrství je celková matice přenosu systému $G (s)$ se rozkládá na dvě části: $H (s)$ - představující kontrolovaný systém a - $C (s)$ představující kontrolní systém. $C (s)$ bere jako své vstupy vstupy $G (s)$ a výstupy z $H (s)$ . Výstupy z $C (s)$ tvoří vstupy pro $H (s)$ .^[3]

Elektrické systémy

V elektrických systémech se často stává, že rozdíl mezi vstupními a výstupními proměnnými je nejednoznačný. Mohou být buď, v závislosti na okolnostech a úhlu pohledu. V takových případech se pojem přístav (místo, kde se energie přenáší z jednoho systému do druhého) může být užitečnější než vstup a výstup. Je zvykem definovat pro každý port dvě proměnné ( $p$ ): Napětí přes to ( $PROTI p$ ) a proud vstup do něj ( $Já p$ ). Například přenosová matice a dvouportová síť lze definovat následovně,

{ displaystyle { begin {bmatrix} V_ {1} V_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} z_ {11} & z_ {12} z_ {21} & z_ {22} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I_ {1} I_ {2} end {bmatrix}}}

Kde $z mn$ se nazývají parametry impedance nebo z-parametry. Nazývají se proto, protože jsou v jednotkách impedance a vztahují proudy portu k napětí portu. Parametry z nejsou jediným způsobem, jak jsou definovány přenosové matice pro sítě se dvěma porty. Existuje šest základních matic, které spojují napětí a proudy, z nichž každá má výhody pro konkrétní topologie systémové sítě.^[4] Pouze dva z nich však lze rozšířit nad dva porty na libovolný počet portů. Tito dva jsou z-parametry a jejich inverzní, parametry přijetí nebo y-parametry.^[5]

Obvod děliče napětí

Chcete-li pochopit vztah mezi napětím portu a proudy a vstupy a výstupy, zvažte jednoduchý obvod děliče napětí. Pokud bychom chtěli vzít v úvahu pouze výstupní napětí ( $PROTI 2$ ) vyplývající z aplikace vstupního napětí ( $PROTI 1$ ) pak lze přenosovou funkci vyjádřit jako,

{ displaystyle { begin {bmatrix} V_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { dfrac {R_ {2}} {R_ {1} + R_ {2}}} end { bmatrix}} { begin {bmatrix} V_ {1} end {bmatrix}}}

což lze považovat za triviální případ přenosové matice 1 × 1. Výraz správně předpovídá výstupní napětí, pokud z portu 2 nevychází žádný proud, ale je stále nepřesnější, jak se zvyšuje zátěž. Pokud se však pokusíme použít obvod v opačném směru, poháněme jej napětím na portu 2 a vypočítáme výsledné napětí na portu 1, výraz dává zcela nesprávný výsledek i bez zátěže na portu 1. Předpovídá větší napětí na port 1, než byl použit na portu 2, nemožnost s čistě odporovým obvodem, jako je tento. Aby bylo možné správně předpovědět chování obvodu, je třeba vzít v úvahu také proudy vstupující do nebo opouštějící porty, což dělá přenosová matice.^[6] Impedanční matice pro obvod děliče napětí je,

{ displaystyle { begin {bmatrix} V_ {1} V_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} R_ {1} + R_ {2} & R_ {2} R_ {2 } & R_ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I_ {1} I_ {2} end {bmatrix}}}

který plně popisuje jeho chování za všech vstupních a výstupních podmínek.^[7]

Na mikrovlnná trouba frekvence, žádná z přenosových matic na základě portových napětí a proudů není v praxi vhodná. Napětí je obtížné měřit přímo, proud téměř nemožný a otevřených obvodů a zkratů požadovaných měřicí technikou nelze dosáhnout s žádnou přesností. Pro vlnovod implementace, obvodové napětí a proud jsou zcela nesmyslné. Místo toho se používají přenosové matice pomocí různých druhů proměnných. Tohle jsou pravomoci přenášené do a odrážené od portu, které jsou snadno měřeny v přenosové vedení technologie použitá v distribuované obvody v mikrovlnném pásmu. Nejznámější a nejpoužívanější z těchto druhů parametrů je rozptylové parametry, nebo s-parametry.^[8]

Mechanické a jiné systémy

Převodovka v řídicí kabině prvního Most Gianella který to provozoval otočný most. Převodové soupravy jsou dva přístavy.

Koncept impedance lze rozšířit do mechanických a dalších domén prostřednictvím a mechanicko-elektrická analogie, tedy parametry impedance a další formy 2-portových parametrů sítě lze rozšířit také na mechanickou doménu. Chcete-li to udělat variabilita úsilí a a proměnná průtoku jsou analogové napětí a proudu. Pro mechanické systémy pod překlad tyto proměnné jsou platnost a rychlost resp.^[9]

Vyjádření chování mechanické součásti jako dvouportové nebo víceportové s přenosovou maticí je užitečné udělat, protože stejně jako elektrické obvody lze komponentu provozovat opačně a její chování závisí na zatíženích na vstupy a výstupy. Například a soukolí je často charakterizován jednoduše svým převodovým poměrem, funkcí přenosu SISO. Avšak výkon převodovky hřídel lze otáčet dokola k otáčení vstupního hřídele vyžadujícího MIMO analýzu. V tomto příkladu jsou proměnné úsilí a toku točivý moment $T$ a úhlová rychlost $ω$ resp. Přenosová matice z hlediska parametrů z bude vypadat takto,

{ displaystyle { begin {bmatrix} T_ {1} T_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} z_ {11} & z_ {12} z_ {21} & z_ {22} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} omega _ {1} omega _ {2} end {bmatrix}}}

Parametry z však nejsou nutně nejvhodnější pro charakterizaci soukolí. Ozubené soukolí je obdobou elektrického transformátor a h-parametry (hybridní parametry) lépe popisují transformátory, protože přímo zahrnují převody (analogové převody).^[10] Převodová matice převodovky ve formátu h-parametrů je,

{ displaystyle { begin {bmatrix} T_ {1} omega _ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} h_ {11} & h_ {12} h_ {21} & h_ { 22} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} omega _ {1} T_ {2} end {bmatrix}}}

kde

h 21

je rychlostní poměr převodového ústrojí bez zátěže na výstupu,

h 12

je poměr točivého momentu zpětného směru převodovky se sevřeným vstupním hřídelem, rovný poměru rychlosti dopředu pro ideální převodovku,

h 11

je vstupní rotační mechanická impedance bez zatížení výstupního hřídele, nula pro ideální převodovku, a,

h 22

je výstupní rotační mechanický vstup se sevřeným vstupním hřídelem.

Pro ideální soukolí bez ztrát (tření, zkreslení atd.) To zjednodušuje,

{ displaystyle { begin {bmatrix} T_ {1} omega _ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & N N & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} omega _ {1} T_ {2} end {bmatrix}}}

kde $N$ je převodový poměr.^[11]

Převodníky a akční členy

Otevřel se mechanický filtr, který ukazoval mechanicko-elektrické měniče na obou koncích

V systému, který se skládá z více energetických domén, jsou vyžadovány přenosové matice, které zvládnou komponenty s porty v různých doménách. v robotika a mechatronika, pohony jsou potřeba. Ty se obvykle skládají z a převodník převod například signálů z řídicího systému v elektrické oblasti na pohyb v mechanické oblasti. Řídicí systém také vyžaduje senzory které detekují pohyb a převádějí jej zpět do elektrické domény pomocí jiného měniče, takže pohyb lze řádně řídit prostřednictvím zpětnovazební smyčky. Dalšími senzory v systému mohou být převodníky převádějící ještě další energetické domény na elektrické signály, jako jsou optické, zvukové, tepelné, tekutinové a chemické. Další aplikací je oblast mechanické filtry které vyžadují převodníky mezi elektrickou a mechanickou doménou v obou směrech.

Jednoduchým příkladem je elektromagnetický elektromechanické pohon poháněný elektronickým regulátorem. To vyžaduje převodník se vstupním portem v elektrické doméně a výstupním portem v mechanické doméně. To by mohlo být zjednodušeně představováno přenosovou funkcí SISO, ale z podobných důvodů, jaké již byly uvedeny, je přesnější reprezentace dosažena přenosovou maticí MIMO se dvěma vstupy a výstupy. V parametrech z to má formu,

{ displaystyle { begin {bmatrix} V F end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} z_ {11} & z_ {12} z_ {21} & z_ {22} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I v end {bmatrix}}}

kde $F$ je síla působící na ovladač a $proti$ je výsledná rychlost aktuátoru. Impedanční parametry jsou zde směsí jednotek; $z 11$ je elektrická impedance, $z 22$ je mechanická impedance a další dva jsou transimpedance v hybridní směsi jednotek.^[12]

Akustické systémy

Akustické systémy jsou podmnožinou dynamika tekutin a v obou polích jsou primární vstupní a výstupní proměnné tlak, $P$ , a objemový průtok, $Q$ , s výjimkou zvuku procházejícího pevnými součástmi. V druhém případě jsou vhodnější primární proměnné mechaniky, síly a rychlosti. Příkladem dvouportové akustické komponenty je a filtr jako a tlumič na výfukový systém. Reprezentace přenosové matice může vypadat takto,

{ displaystyle { begin {bmatrix} P_ {2} Q_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} T_ {21} & T_ {22} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} P_ {1} Q_ {1} end {bmatrix}}}

Tady je $T mn$ jsou parametry přenosu, známé také jako Parametry ABCD. Složku lze stejně snadno popsat z-parametry, ale přenosové parametry mají matematickou výhodu, když se jedná o systém dvou portů, které jsou spojeny v kaskádě výstupu jednoho do vstupního portu druhého. V takových případech jsou celkové přenosové parametry nalezeny jednoduše vynásobením matic matic přenosových parametrů základních složek.^[13]

Kompatibilní proměnné

Pneumatický pohon s pastorkem ovládající ventil ve vodním potrubí. Aktuátor je dvouportové zařízení, které převádí z pneumatické oblasti na mechanickou. Spolu se samotným ventilem zahrnuje třícestný systém; pneumatický ovládací port a porty vstupu a výstupu vodního potrubí průtoku kapaliny ventilu.

Při práci se smíšenými proměnnými z různých energetických domén je třeba zvážit, které proměnné považovat za analogické. Volba závisí na tom, čeho má analýza dosáhnout. Pokud je požadováno správné modelování energetických toků v celém systému, pak musí dvojice proměnných, jejichž produktem je síla (proměnné konjugované s výkonem) v jedné energetické doméně, mapovat, aby mohly konjugovat proměnné v jiných doménách. Proměnné konjugované s mocninou nejsou jedinečné, takže je třeba dbát na to, aby bylo v systému použito stejné mapování proměnných.^[14]

Běžné mapování (použité v některých příkladech v tomto článku) mapuje proměnné intenzity (ty, které iniciují akci) z každé domény společně a mapuje proměnné toku (ty, které jsou vlastností akce) z každé domény společně. Každá dvojice proměnných úsilí a toku je konjugovaná s výkonem. Tento systém je známý jako analogie impedance protože poměr úsilí k proměnné toku v každé doméně je analogický s elektrickou impedancí.^[15]

Existují dva další výkonové konjugované systémy se stejnými proměnnými, které se používají. The analogie mobility namísto napětí mapuje mechanickou sílu na elektrický proud. Tato analogie je široce používána konstruktéry mechanických filtrů a často také v audio elektronice. Výhodou mapování je zachování topologie sítě napříč doménami, ale neudržuje mapování impedancí. Trentova analogie třídí mocninové konjugované proměnné buď jako přes proměnné nebo přes proměnné podle toho, zda jednají napříč prvkem systému nebo jeho prostřednictvím. To do značné míry končí stejně jako analogie mobility, s výjimkou případu oblasti proudění tekutin (včetně oblasti akustiky). Zde se tlak vytváří analogicky s napětím (jako v analogii impedance) namísto proudu (jako v analogii mobility). Síla v mechanické oblasti je analogický proudu, protože síla působí přes objekt.^[16]

Existují některé běžně používané analogie, které nepoužívají výkonové konjugované páry. U senzorů nemusí být správné modelování energetických toků tak důležité. Senzory často extrahují do systému jen malé množství energie. Užitečnější může být výběr proměnných, které jsou vhodné k měření, zejména proměnných, které senzor snímá. Například v teplotní odolnost analogicky se tepelný odpor považuje za analogický s elektrickým odporem, což vede k teplotnímu rozdílu a mapování tepelné energie na napětí a proud. Silový konjugát teplotního rozdílu není tepelný výkon, ale spíše entropie průtok, něco, co nelze přímo měřit. Další analogie stejného druhu se vyskytuje v magnetické doméně. Toto mapy magnetická neochota na elektrický odpor, což má za následek magnetický tok mapování na aktuální místo rychlosti magnetického toku změny, jak je požadováno pro kompatibilní proměnné.^[17]

Dějiny

Maticová reprezentace lineární algebraika rovnice jsou známy již nějakou dobu. Poincaré v roce 1907 jako první popsal převodník jako dvojici takových rovnic týkajících se elektrických proměnných (napětí a proud) s mechanickými proměnnými (síla a rychlost). Wegel v roce 1921 jako první vyjádřil tyto rovnice, pokud jde o mechanickou i elektrickou impedanci.^[18]

První použití přenosových matic k představení řídicího systému MIMO bylo Boksenbomem a Hoodem v roce 1950, ale pouze pro konkrétní případ motorů s plynovou turbínou, které studovali pro Národní poradní výbor pro letectví.^[19] Cruickshank poskytl pevnější základ v roce 1955, ale bez úplné obecnosti. Kavanagh v roce 1956 poskytl první zcela obecné zacházení, stanovil maticový vztah mezi systémem a kontrolou a poskytl kritéria pro realizovatelnost kontrolního systému, který by mohl zajistit předepsané chování systému pod kontrolou.^[20]

Viz také

Metoda přenosové matice (optika)

Reference

^ Chen, str. 1038
^
Levine, str. 481
- Chen, str. 1037–1038
^ Kavanagh, str. 350
^
Chen, str. 54–55
- Iyer, str. 240
- Bakshi & Bakshi, str. 420
^ Choma, str. 197
^ Yang & Lee, str. 37–38
^ Bessai, s. 4–5
^
Nguyen, str. 271
- Bessai, str. 1
^ Busch-Vishniac, str. 19–20
^ Olsen, str. 239–240
^
Busch-Vishniac, str. 20
- Koenig & Blackwell, str. 170
^ Pierce, str. 200
^ Munjal, str. 81
^ Busch-Vishniac, str. 18
^ Busch-Vishniac, str. 20
^ Busch-Vishniac, str. 19–20
^ Busch-Vishniac, str. 18, 20
^ Pierce, str. 200
^
Kavanagh, str. 350
- Bokenham & Hood, str. 581
^ Kavanagh, str. 349–350

Bibliografie

Bessai, Horst, Signály a systémy MIMO, Springer, 2006 ISBN 038727457X.
Bakshi, A.V .; Bakshi, USA Teorie sítě, Technické publikace, 2008 ISBN 8184314027.
Boksenbom, Aaron S .; Hood, Richarde, „Obecná algebraická metoda aplikovaná na kontrolní analýzu složitých typů motorů“, NACA Zpráva 980, 1950.
Busch-Vishniac, Ilene J., Elektromechanické senzory a akční členySpringer, 1999 ISBN 038798495X.
Chen, Wai Kai, Příručka pro elektrotechniku, Academic Press, 2004 ISBN 0080477488.
Choma, John, Elektrické sítě: teorie a analýza, Wiley, 1985 ISBN 0471085286.
Cruickshank, A. J. O., „Maticová formulace rovnic řídicího systému“, Matrix and Tensor Quarterly, sv. 5, č. 3, s. 76, 1955.
Iyer, T. S. K. V., Teorie obvodů, Tata McGraw-Hill Education, 1985 ISBN 0074516817.
Kavanagh, R. J., "Aplikace maticových metod na systémy s více proměnnými", Journal of the Franklin Institute, sv. 262, iss. 5, s. 349–367, listopad 1956.
Koenig, Herman Edward; Blackwell, William A., Teorie elektromechanického systému, McGraw-Hill, 1961 OCLC 564134
Levine, William S., Kontrolní příručka, CRC Press, 1996 ISBN 0849385709.
Nguyen, Cam, Radiofrekvenční integrovaný obvod, Wiley, 2015 ISBN 1118936485.
Olsen A., "Charakterizace transformátorů h-paraametry", Transakce IEEE na teorii obvodů, sv. 13, iss. 2, s. 239–240, červen 1966.
Pierce, Allan D. Akustika: Úvod do jejích fyzikálních principů a aplikací, Acoustical Society of America, 1989 ISBN 0883186128.
Poincaré, H., „Etude du récepteur téléphonique“, Eclairage Electrique, sv. 50, str. 221–372, 1907.
Wegel, R. L., „Teorie magneto-mechanických systémů aplikovaných na telefonní přijímače a podobné struktury“, Journal of the American Institute of Electrical Engineers, sv. 40, s. 791–802, 1921.
Yang, vyhrál Y .; Lee, Seung C., Okruhové systémy s MATLAB a PSpice, Wiley 2008, ISBN 0470822406.

[1] Chen, str. 1038

[2] Levine, str. 481
Chen, str. 1037–1038

[3] Chen, str. 1037–1038

[3] Kavanagh, str. 350

[4] Chen, str. 54–55
Iyer, str. 240
Bakshi & Bakshi, str. 420

[6] Iyer, str. 240

[7] Bakshi & Bakshi, str. 420

[5] Choma, str. 197

[6] Yang & Lee, str. 37–38

[7] Bessai, s. 4–5

[8] Nguyen, str. 271
Bessai, str. 1

[12] Bessai, str. 1

[9] Busch-Vishniac, str. 19–20

[10] Olsen, str. 239–240

[11] Busch-Vishniac, str. 20
Koenig & Blackwell, str. 170

[16] Koenig & Blackwell, str. 170

[12] Pierce, str. 200

[13] Munjal, str. 81

[14] Busch-Vishniac, str. 18

[15] Busch-Vishniac, str. 20

[16] Busch-Vishniac, str. 19–20

[17] Busch-Vishniac, str. 18, 20

[18] Pierce, str. 200

[19] Kavanagh, str. 350
Bokenham & Hood, str. 581

[25] Bokenham & Hood, str. 581

[20] Kavanagh, str. 349–350

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]