Symplektický integrátor - Symplectic integrator

v matematika, a symplektický integrátor (SI) je numerické integrační schéma pro Hamiltonovské systémy. Symplektické integrátory tvoří podtřídu geometrické integrátory které jsou podle definice kanonické transformace. Jsou široce používány v nelineární dynamika, molekulární dynamika, metody diskrétních prvků, fyzika akcelerátoru, fyzika plazmatu, kvantová fyzika, a nebeská mechanika.

Úvod

Symplektické integrátory jsou navrženy pro numerické řešení Hamiltonovy rovnice, který četl

${ displaystyle { dot {p}} = - { frac { částečné H} { částečné q}} quad { mbox {a}} quad { dot {q}} = { frac { částečné H} { částečné p}},}$

kde ${ displaystyle q}$ označuje souřadnice polohy, ${ displaystyle p}$ souřadnice hybnosti a ${ displaystyle H}$ je Hamiltonian. Sada souřadnic polohy a hybnosti ${ displaystyle (q, p)}$ jsou nazývány kanonické souřadnice.(Vidět Hamiltoniánská mechanika pro více pozadí.)

Časový vývoj Hamiltonovy rovnice je symplectomorphism, což znamená, že zachovává symplektiku 2-forma ${ displaystyle dp klín dq}$. Numerické schéma je symplektický integrátor, pokud také zachovává tuto 2-formu.

Symplektické integrátory mají jako konzervované množství hamiltonián, který je mírně rozrušený z původního. Díky těmto výhodám bylo schéma SI široce používáno pro výpočty dlouhodobého vývoje chaotických hamiltonovských systémů od Keplerův problém na klasické a poloklasické simulace v molekulární dynamika.

Většina obvyklých numerických metod, jako primitivní Eulerovo schéma a klasický Schéma Runge – Kutta, nejsou symplektičtí integrátoři.

Metody pro konstrukci symplektických algoritmů

Metody štěpení pro oddělitelné Hamiltonians

Široce používaná třída symplectických integrátorů je tvořena metodami rozdělení.

Předpokládejme, že hamiltonián je oddělitelný, což znamená, že může být zapsán ve formě

${ Displaystyle H (p, q) = T (p) + V (q). qquad qquad (1)}$

To se v Hamiltonovské mechanice děje často s T být Kinetická energie a PROTI the potenciální energie.

Pro jednoduchou notaci si představme symbol ${ displaystyle z = (q, p)}$ k označení kanonických souřadnic včetně souřadnic polohy a hybnosti. Pak lze sadu Hamiltonových rovnic uvedených v úvodu vyjádřit v jediném výrazu jako

${ displaystyle { dot {z}} = {z, H (z) }, qquad qquad (2)}$

kde ${ displaystyle { cdot, cdot }}$ je Poissonova závorka. Dále zavedením operátora ${ displaystyle D_ {H} cdot = { cdot, H }}$, který vrací a Poissonova závorka operandu s Hamiltonian, výraz Hamiltonovy rovnice lze dále zjednodušit na

${ displaystyle { dot {z}} = D_ {H} z.}$

Formální řešení této sady rovnic je uvedeno jako a exponenciální matice:

${ displaystyle z ( tau) = exp ( tau D_ {H}) z (0). qquad qquad (3)}$

Všimněte si pozitivity ${ displaystyle tau D_ {H}}$ v matici exponenciální.

Když má Hamiltonián podobu ekv. (1), řešení (3) je ekvivalentní k

${ displaystyle z ( tau) = exp [ tau (D_ {T} + D_ {V})] z (0). qquad qquad (4)}$

Schéma SI přibližuje operátor evoluce času ${ displaystyle exp [ tau (D_ {T} + D_ {V})]}$ ve formálním řešení (4) produktem operátorů as

${ displaystyle { begin {zarovnaný} exp [ tau (D_ {T} + D_ {V})] & = prod _ {i = 1} ^ {k} exp (c_ {i} tau D_ {T}) exp (d_ {i} tau D_ {V}) + O ( tau ^ {k + 1}) & = exp (c_ {1} tau D_ {T}) exp (d_ {1} tau D_ {V}) dots exp (c_ {k} tau D_ {T}) exp (d_ {k} tau D_ {V}) + O ( tau ^ {k +1}), end {zarovnáno}} qquad qquad (5)}$

kde ${ displaystyle c_ {i}}$ a ${ displaystyle d_ {i}}$ jsou skutečná čísla, ${ displaystyle k}$ je celé číslo, které se nazývá pořadí integrátoru a kde ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} c_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {k} d_ {i} = 1}$. Všimněte si, že každý z operátorů ${ displaystyle exp (c_ {i} tau D_ {T})}$ a ${ displaystyle exp (d_ {i} tau D_ {V})}$ poskytuje a symplektická mapa, takže jejich produkt, který se objevuje na pravé straně (5), také představuje symlektickou mapu.

Od té doby ${ displaystyle D_ {T} ^ {2} z = { {z, T }, T } = {({ dot {q}}, 0), T } = (0,0) }$ pro všechny ${ displaystyle z}$, můžeme to uzavřít

${ displaystyle D_ {T} ^ {2} = 0. qquad qquad (6)}$

Použitím Taylorovy řady ${ displaystyle exp (aD_ {T})}$ lze vyjádřit jako

${ displaystyle exp (aD_ {T}) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(aD_ {T}) ^ {n}} {n!}}, qquad qquad (7)}$

kde ${ displaystyle a}$ je libovolné reálné číslo. Kombinace (6) a (7) a použitím stejného uvažování pro ${ displaystyle D_ {V}}$ jak jsme použili ${ displaystyle D_ {T}}$, dostaneme

${ displaystyle left {{ begin {aligned} exp (aD_ {T}) & = 1 + aD_ {T}, exp (aD_ {V}) & = 1 + aD_ {V}. konec {zarovnáno}} vpravo. qquad qquad (8)}$

Konkrétně ${ displaystyle exp (c_ {i} tau D_ {T})}$ dává mapování

${ displaystyle { begin {pmatrix} q p end {pmatrix}} mapsto { begin {pmatrix} q + tau c_ {i} { frac { částečné T} { částečné p}} (p ) p end {pmatrix}},}$

a ${ displaystyle exp (d_ {i} tau D_ {V})}$ dává

${ displaystyle { begin {pmatrix} q p end {pmatrix}} mapsto { begin {pmatrix} q p- tau d_ {i} { frac { částečné V} { částečné q }} (q) end {pmatrix}}.}$

Obě tyto mapy jsou prakticky vypočítatelné.

Příklady

Zjednodušená forma rovnic (v provedeném pořadí) jsou:

${ displaystyle q_ {i + 1} = q_ {i} + c_ {i} { frac {p_ {i + 1}} {m}} t}$

${ displaystyle p_ {i + 1} = p_ {i} + d_ {i} F (q_ {i}) t}$

Po převodu na lagrangické souřadnice:

${ displaystyle x_ {i + 1} = x_ {i} + c_ {i} v_ {i + 1} t}$

${ displaystyle v_ {i + 1} = v_ {i} + d_ {i} a (x_ {i}) t}$

Kde ${ displaystyle F (x)}$ je vektor síly v ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle a (x)}$ je vektor zrychlení při ${ displaystyle x}$, a ${ displaystyle m}$ je skalární množství hmoty.

Níže je uvedeno několik symplectických integrátorů. Názorným způsobem, jak je použít, je uvažovat o částice s pozicí ${ displaystyle q}$ a rychlost ${ displaystyle p}$.

Chcete-li použít časový krok s hodnotami ${ displaystyle c_ {1,2,3}, d_ {1,2,3}}$ částice, proveďte následující kroky:

Opakovaně:

• Aktualizujte pozici ${ displaystyle i}$ částice přidáním její (dříve aktualizované) rychlosti ${ displaystyle i}$ vynásobeno ${ displaystyle c_ {i}}$
• Aktualizujte rychlost ${ displaystyle i}$ částice přidáním její akcelerace (v aktualizované poloze) vynásobené ${ displaystyle d_ {i}}$

Příklad prvního řádu

The symlektická Eulerova metoda je integrátor prvního řádu s ${ displaystyle k = 1}$ a koeficienty

${ displaystyle c_ {1} = d_ {1} = 1. }$

Všimněte si, že výše uvedený algoritmus nefunguje, pokud je nutná časová reverzibilita. Algoritmus musí být implementován ve dvou částech, jedna pro pozitivní časové kroky, druhá pro negativní časové kroky.

Příklad druhého řádu

The Verletova metoda je integrátor druhého řádu s ${ displaystyle k = 2}$ a koeficienty

${ displaystyle c_ {1} = 0, qquad c_ {2} = 1, qquad d_ {1} = d_ {2} = { tfrac {1} {2}}.}$

Od té doby ${ displaystyle c_ {1} = 0}$, výše uvedený algoritmus je symetrický v čase. K algoritmu existují 3 kroky a kroky 1 a 3 jsou přesně stejné, takže pozitivní časovou verzi lze použít pro záporný čas.

Příklad třetího řádu

Symlektický integrátor třetího řádu (s ${ displaystyle k = 3}$) objevil Ronald Ruth v roce 1983.^[1]Jedno z mnoha řešení je dáno

${ displaystyle { begin {aligned} c_ {1} & = 1, & c_ {2} & = - { tfrac {2} {3}}, & c_ {3} & = { tfrac {2} {3} }, d_ {1} & = - { tfrac {1} {24}}, & d_ {2} & = { tfrac {3} {4}}, & d_ {3} & = { tfrac {7 } {24}}. End {zarovnáno}}}$

Příklad čtvrtého řádu

Integrátor čtvrtého řádu (s ${ displaystyle k = 4}$) byla také objevena Ruth v roce 1983 a distribuována soukromě komunitě urychlovače částic v té době. To bylo popsáno v živém recenzním článku Forest.^[2]Tento integrátor čtvrtého řádu byl publikován v roce 1990 Forestem a Ruth a také nezávisle objeven dvěma dalšími skupinami přibližně ve stejnou dobu.^[3][4][5]

${ displaystyle { begin {aligned} c_ {1} & = c_ {4} = { frac {1} {2 (2-2 ^ {1/3})}}, & c_ {2} & = c_ { 3} = { frac {1-2 ^ {1/3}} {2 (2-2 ^ {1/3})}}, d_ {1} & = d_ {3} = { frac { 1} {2-2 ^ {1/3}}}, & d_ {2} & = - { frac {2 ^ {1/3}} {2-2 ^ {1/3}}}, quad d_ {4} = 0. End {zarovnáno}}}$

K určení těchto koeficientů se použije Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec může být použito. Zejména Yoshida poskytuje elegantní derivaci koeficientů pro integrátory vyššího řádu. Později Blanes a Moan^[6] dále rozvinutá rozdělená Metody Runge – Kutta pro integraci systémů s oddělitelnými Hamiltonians s velmi malými chybovými konstantami.

Metody štěpení pro obecné neoddělitelné Hamiltonians

Obecně neoddělitelní Hamiltonians mohou být také výslovně a symplectically integrovány.

Za tímto účelem zavedla Tao omezení, které spojuje dvě kopie fázového prostoru dohromady, aby umožnilo explicitní rozdělení těchto systémů.^[7]Myšlenka je, místo toho ${ displaystyle H (Q, P)}$, jeden simuluje ${ displaystyle { bar {H}} (q, p, x, y) = H (q, y) + H (x, p) + omega doleva ( | qx | _ {2} ^ { 2} / 2 + | py | _ {2} ^ {2} / 2 vpravo)}$, jehož řešení souhlasí s řešením ${ displaystyle H (Q, P)}$ V tom smyslu, že ${ Displaystyle q (t) = x (t) = Q (t), p (t) = y (t) = P (t)}$.

Nový Hamiltonian je výhodný pro explicitní symplektickou integraci, protože jej lze rozdělit na součet tří subhiltoniánů, ${ displaystyle H_ {A} = H (q, y)}$, ${ displaystyle H_ {B} = H (x, p)}$, a ${ displaystyle H_ {C} = omega vlevo ( | q-x | _ {2} ^ {2} / 2 + | p-y | _ {2} ^ {2} / 2 vpravo)}$. Přesná řešení všech tří subhiltoniánů lze výslovně získat: obojí ${ displaystyle H_ {A}, H_ {B}}$ řešení odpovídají posunům neodpovídající polohy a hybnosti a ${ displaystyle H_ {C}}$ odpovídá lineární transformaci. Abychom symplekticky simulovali systém, jednoduše sestavíme tyto mapy řešení.

Aplikace

Ve fyzice plazmatu

V posledních desetiletích se symplektický integrátor ve fyzice plazmy stal aktivním výzkumným tématem,^[8] protože přímé aplikace standardních symplektických metod nevyhovují potřebě rozsáhlých plazmových simulací, které umožňují výpočetní hardware peta- až exa. Speciální symplektické algoritmy je třeba obvykle navrhovat tak, aby pronikly do zvláštních struktur zkoumaného fyzikálního problému. Jedním z takových příkladů je dynamika nabitých částic v elektromagnetickém poli. S kanonickou symplektickou strukturou je hamiltonián dynamiky

jehož ${ textstyle { boldsymbol {p}}}$-závislost a ${ textstyle { boldsymbol {x}}}$-závislost nelze oddělit a standardní explicitní symplektické metody se nepoužijí. U rozsáhlých simulací na masivně paralelních klastrech se však upřednostňují explicitní metody. Abychom tuto obtíž překonali, můžeme prozkoumat konkrétní způsob, jakým ${ textstyle { boldsymbol {p}}}$-závislost a ${ textstyle { boldsymbol {x}}}$-závislost je zapletená do tohoto hamiltoniánu a pokuste se navrhnout symplektický algoritmus právě pro tento nebo tento typ problému. Nejprve si povšimneme, že ${ textstyle { boldsymbol {p}}}$-závislost je kvadratická, proto je implicitně v Eulerově metodě symlektická prvního řádu ${ textstyle { boldsymbol {p}}}$ je ve skutečnosti explicitní. To je to, co se používá v kanonické symlektice částice v buňce (PIC) algoritmus.^[9] Abychom vytvořili explicitní metody vysokého řádu, dále si povšimneme, že ${ textstyle { boldsymbol {p}}}$-závislost a ${ textstyle { boldsymbol {x}}}$-závislost v tom ${ textstyle H ({ boldsymbol {p}}, { boldsymbol {x}})}$ jsou oddělitelné od produktů a explicitní symplektické algoritmy 2. a 3. řádu lze konstruovat pomocí generujících funkcí.^[10]

Elegantnější a všestrannější alternativou je podívat se na následující nekanonickou symplektickou strukturu problému,

Tady ${ textstyle Omega}$ je nekonstantní nekanonická symlektická forma. Není známo, že by existoval obecný symplektický integrátor pro nekonstantní nekanonickou symplektickou strukturu, explicitní nebo implicitní. Pro tento specifický problém však lze pomocí metody rozdělení He sestrojit rodinu explicitních nekanonických symplektických integrátorů vysokého řádu.^[11] Rozdělení ${ textový styl H}$ na 4 části, náhodně zjistíme, že pro každý subsystém, např. a mapu řešení lze explicitně zapsat a přesně vypočítat. Pak mohou být konstruovány explicitní nekanonické symlektické algoritmy vysokého řádu s použitím různých kompozic. Nechat ${ textstyle Theta _ {x}, Theta _ {y}, Theta _ {z}}$ a ${ textstyle Theta _ { phi}}$ označte přesné mapy řešení pro 4 subsystémy. Symlektické schéma 1. řádu je Symetrické symplektické schéma 2. řádu je, což je obvykle upravené Strangovo rozdělení. A ${ textový styl 2 (l + 1)}$-th schéma řádu může být postaveno z a ${ textstyle 2l}$-té pořadí schéma pomocí metody trojskoku, Metoda rozdělení He je jednou z klíčových technik používaných v geometrii zachovávající strukturu částice v buňce (PIC) algoritmy ^[12][13][14].

Viz také

• Energetický drift
• Multisymplektický integrátor
• Variační integrátor
• Integrace verletů

Reference

• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulace hamiltonovské dynamiky. Cambridge University Press. ISBN  0-521-77290-7.
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Geometrická numerická integrace: Algoritmy zachovávající strukturu pro běžné diferenciální rovnice (2. vyd.). Springer. ISBN  978-3-540-30663-4.