Variační integrátor - Variational integrator

Variační integrátoři jsou numerické integrátory pro Hamiltonovské systémy odvozeno z Euler-Lagrangeovy rovnice diskriminován Hamiltonův princip. Variační integrátoři zachovávají hybnost a symplektický.

Odvození jednoduchého variačního integrátoru

Uvažujme o mechanickém systému s jedním stupněm volnosti částic popsaným Lagrangeovým

${displaystyle L (t, q, v) = {frac {1} {2}} mv ^ {2} -V (q),}$

kde ${displaystyle m}$ je hmotnost částice a ${displaystyle V}$ je potenciál. Abychom vytvořili variační integrátor pro tento systém, začneme vytvořením diskrétní Lagrangeova. Diskrétní Lagrangeova aproximuje akci pro systém v krátkém časovém intervalu:

${displaystyle {egin {aligned} L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) & = {frac {t_ {1} -t_ {0}} {2} } vlevo [Lleft (t_ {0}, q_ {0}, {frac {q_ {1} -q_ {0}} {t_ {1} -t_ {0}}} vpravo) + Lleft (t_ {1}, q_ {1}, {frac {q_ {1} -q_ {0}} {t_ {1} -t_ {0}}} ight) ight] & přibližně int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1} }, dt, L (t, q (t), v (t)). end {zarovnáno}}}$

Zde jsme se rozhodli aproximovat časový integrál pomocí lichoběžníkové metody a použijeme lineární aproximaci trajektorie,

${displaystyle q (t) cca {frac {q_ {1} -q_ {0}} {t_ {1} -t_ {0}}} (t-t_ {0}) + q_ {0}}$

mezi ${displaystyle t_ {0}}$ a ${displaystyle t_ {1}}$, což má za následek konstantní rychlost ${displaystyle v okolox vlevo (q_ {1} -q_ {0} vpravo) / vlevo (t_ {1} -t_ {0} vpravo)}$. Různé možnosti aproximace trajektorie a časového integrálu poskytují různé variační integrátory. Pořadí přesnosti integrátoru je řízeno přesností naší aproximace k akci; od té doby

${displaystyle S_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}}, dt, L (t, q (t), v (t)) + {mathcal {O}} (t_ {1} -t_ {0}) ^ {2},}$

náš integrátor bude přesný druhého řádu.

Evoluční rovnice pro diskrétní systém lze odvodit z principu stacionární akce. Diskrétní akce v prodlouženém časovém intervalu je součtem diskrétních Lagrangianů v mnoha dílčích intervalech:

${displaystyle S_ {d} = L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) + L_ {d} (t_ {1}, t_ {2}, q_ { 1}, q_ {2}) + cdots.}$

Princip stacionární akce uvádí, že akce je stacionární s ohledem na variace souřadnic, které ponechávají koncové body trajektorie pevné. Takže změna souřadnic ${displaystyle q_ {1}}$, my máme

${displaystyle {frac {částečné S_ {d}} {částečné q_ {1}}} = 0 = {frac {částečné} {částečné q_ {1}}} L_ {d} vlevo (t_ {0}, t_ {1} , q_ {0}, q_ {1} ight) + {frac {částečné} {částečné q_ {1}}} L_ {d} vlevo (t_ {1}, t_ {2}, q_ {1}, q_ {2 } hned).}$

Vzhledem k počáteční podmínce ${displaystyle (q_ {0}, q_ {1})}$a posloupnost časů ${displaystyle (t_ {0}, t_ {1}, t_ {2})}$ to poskytuje vztah, který lze vyřešit ${displaystyle q_ {2}}$. Řešení je

${displaystyle q_ {2} = q_ {1} + {frac {t_ {2} -t_ {1}} {t_ {1} -t_ {0}}} (q_ {1} -q_ {0}) - { frac {(t_ {2} -t_ {0}) (t_ {2} -t_ {1})} {2m}} {frac {d} {dq_ {1}}} V (q_ {1}).}$

Můžeme to napsat v jednodušší formě, pokud definujeme diskrétní moment,

${displaystyle p_ {0} equiv - {frac {částečné} {částečné q_ {0}}} L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1})}$

a

${displaystyle p_ {1} equiv {frac {částečné} {částečné q_ {1}}} L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}).}$

Vzhledem k počáteční podmínce ${displaystyle (q_ {0}, p_ {0})}$, podmínka stacionární akce je ekvivalentní řešení první z těchto rovnic pro ${displaystyle q_ {1}}$a poté určovat ${displaystyle p_ {1}}$ pomocí druhé rovnice. Toto evoluční schéma dává

${displaystyle q_ {1} = q_ {0} + {frac {t_ {1} -t_ {0}} {m}} p_ {0} - {frac {(t_ {1} -t_ {0}) ^ { 2}} {2m}} {frac {d} {dq_ {0}}} V (q_ {0})}$

a

${displaystyle p_ {1} = m {frac {q_ {1} -q_ {0}} {t_ {1} -t_ {0}}} - {frac {t_ {1} -t_ {0}} {2} } {frac {d} {dq_ {1}}} V (q_ {1}).}$

Tohle je přeskočit integraci schéma systému; dva kroky této evoluce jsou ekvivalentní výše uvedenému vzorci pro ${displaystyle q_ {2}}$

Viz také

• Integrátor skupiny lži

Reference

• E. Hairer, C. Lubich a G. Wanner. Geometrická numerická integrace. Springer, 2002.
• J. Marsden a M. West. Diskrétní mechanika a variační integrátoři. Acta Numerica, 2001, s. 357–514.