Beemansův algoritmus - Beemans algorithm - Wikipedia

Beemanův algoritmus je metoda pro numericky integrovat obyčejné diferenciální rovnice řádu 2, konkrétněji Newtonovy pohybové rovnice ${ displaystyle { ddot {x}} = A (x)}$. Byl navržen tak, aby umožňoval vysoký počet částic v simulacích molekulární dynamiky. Existuje přímá nebo explicitní a implicitní varianta metody. Přímá varianta byla publikována společností Schofield v roce 1973^[1] jako osobní komunikaci od Beemana. Toto je běžně známé jako Beemanova metoda. Jedná se o variantu Integrace verletů metoda. Produkuje identické pozice, ale pro rychlosti používá jiný vzorec. Beeman v roce 1976 publikován^[2] třída implicitních (prediktor – korektor) vícestupňových metod, kde Beemanova metoda je přímá varianta metody třetího řádu v této třídě.

Rovnice

Vzorec použitý k výpočtu pozic v čase ${ displaystyle t + Delta t}$ v plném prediktoru-korektoru^[2] schéma je:

• Předpovědět ${ displaystyle x (t + Delta t)}$ z dat občas ${ displaystyle t { text {and}} t- Delta t}$

${ displaystyle x (t + Delta t) = x (t) + v (t) Delta t + { frac {1} {6}} { Bigl (} 4a (t) -a (t- Delta t ) { Bigr)} Delta t ^ {2} + O ( Delta t ^ {4})}$.

• Správná poloha a rychlosti v čase ${ displaystyle t + Delta t}$ z dat občas ${ displaystyle t { text {and}} t + Delta t}$ opakovaným vyhodnocením diferenciální rovnice pro získání zrychlení ${ displaystyle a (t + Delta t)}$ a rovnic implicitního systému

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x (t + Delta t) & = x (t) + v (t) Delta t + { frac {1} {6}} { Bigl (} a (t + Delta t) + 2a (t) { Bigr)} Delta t ^ {2} + O ( Delta t ^ {4}); v (t + Delta t) Delta t & = x (t + Delta t ) -x (t) + { frac {1} {6}} { Bigl (} 2a (t + Delta t) + a (t) { Bigr)} Delta t ^ {2} + O ( Delta t ^ {4}); end {zarovnáno}}}$

V testech bylo zjištěno, že tento krok korektoru je třeba opakovat nanejvýš dvakrát. Hodnoty vpravo jsou staré hodnoty posledních iterací, což má za následek nové hodnoty vlevo.

Použitím pouze vzorce prediktoru a korektoru pro rychlosti se získá přímá nebo explicitní metoda^[1] což je varianta metody integrace Verlet:^[3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x (t + Delta t) & = x (t) + v (t) Delta t + { frac {1} {6}} { Bigl (} 4a (t) - a (t- Delta t) { Bigr)} Delta t ^ {2} + O ( Delta t ^ {4}) v (t + Delta t) & = v (t) + { frac {1} {6}} { Bigl (} 2a (t + Delta t) + 5a (t) -a (t- Delta t) { Bigr)} Delta t + O ( Delta t ^ {3 }); end {zarovnáno}}}$

Toto je varianta, která se obvykle chápe jako Beemanova metoda.

Beemane^[2] také navrhl alternativně nahradit aktualizaci rychlosti v poslední rovnici druhým řádem Adams – Moultonova metoda:

${ displaystyle v (t + Delta t) = v (t) + { frac {1} {12}} { Bigl (} 5a (t + Delta t) + 8a (t) -a (t- Delta t) { Bigr)} Delta t + O ( Delta t ^ {3})}$

kde

• ${ displaystyle t}$ je přítomný čas (tj. nezávislá proměnná)
• ${ displaystyle Delta t}$ je velikost časového kroku
• ${ displaystyle x (t)}$ je poloha v čase t
• ${ displaystyle v (t)}$ je rychlost v čase t
• ${ displaystyle a (t)}$ je zrychlení v čase t, vypočítané jako funkce ${ displaystyle x (t)}$
• poslední termín je chybový termín pomocí velká O notace

Úpravy prediktor-korektor

V systémech, kde jsou síly kromě polohy také funkcí rychlosti, je třeba výše uvedené rovnice upravit do podoby prediktor-korektor, přičemž rychlosti v čase ${ displaystyle t + Delta t}$ se předpovídají a vypočítají síly před vytvořením opravené formy rychlostí.

Příkladem je:

${ displaystyle x (t + Delta t) = x (t) + v (t) Delta t + { frac {2} {3}} a (t) Delta t ^ {2} - { frac {1 } {6}} a (t- Delta t) Delta t ^ {2} + O ( Delta t ^ {4}).}$

Rychlosti v čase ${ displaystyle t = t + Delta t}$ se poté vypočítají (předpovídají) z pozic.

${ displaystyle v (t + Delta t) ~ { text {(předpovězeno)}} = v (t) + { frac {3} {2}} a (t) Delta t - { frac {1} {2}} a (t- Delta t) Delta t + O ( Delta t ^ {3}).}$

Zrychlení ${ displaystyle a (t + Delta t)}$ v čase ${ displaystyle t = t + Delta t}$ z pozic a předpovězených rychlostí se poté vypočítají a rychlosti se opraví.

${ displaystyle v (t + Delta t) ~ { text {(opraveno)}} = v (t) + { frac {5} {12}} a (t + Delta t) Delta t + { frac { 2} {3}} a (t) Delta t - { frac {1} {12}} a (t- Delta t) Delta t + O ( Delta t ^ {3}).}$

Chybný termín

Jak je uvedeno výše, termín místní chyby je ${ displaystyle O ( Delta t ^ {4})}$ pro pozici a ${ displaystyle O ( Delta t ^ {3})}$ rychlost, což má za následek globální chybu ${ displaystyle O ( Delta t ^ {3})}$. Ve srovnání je Verlet ${ displaystyle O ( Delta t ^ {2})}$ pro polohu a rychlost. Výměnou za vyšší přesnost je Beemanův algoritmus výpočetně mírně nákladnější.

Požadavky na paměť

Simulace musí sledovat polohu, rychlost, zrychlení a předchozí vektory zrychlení na částici (i když jsou možná některá chytrá řešení pro uložení předchozího vektoru zrychlení), přičemž její požadavky na paměť musí být srovnatelné s rychlostí Verlet a o něco dražší než původní metoda Verlet .

Reference

• Sadus, Richard J. (2002), Molekulární teorie tekutin: teorie, algoritmy a objektová orientace, Elsevier, s. 231, ISBN  0-444-51082-6