Obecné lineární metody - General linear methods - Wikipedia

Obecné lineární metody (GLMs) jsou velkou třídou numerické metody slouží k získání numerické řešení obyčejné diferenciální rovnice. Zahrnují vícestupňové Runge – Kutta metody, které používají meziprodukt kolokační body, stejně jako lineární vícestupňové metody které šetří konečnou časovou historii řešení. John C. Butcher původně vytvořil tento termín pro tyto metody a napsal řadu recenzních prací^[1][2][3]kapitola knihy^[4]a učebnici^[5]Na téma. Jeho spolupracovník Zdzislaw Jackiewicz má také rozsáhlou učebnici^[6] Na téma. Původní třídu metod původně navrhli Butcher (1965), Gear (1965) a Gragg a Stetter (1964).

Některé definice

Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu přibližují řešení problémů počáteční hodnoty formuláře

${ displaystyle y '= f (t, y), quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Výsledkem jsou aproximace pro hodnotu ${ displaystyle y (t)}$ v diskrétních časech ${ displaystyle t_ {i}}$:

${ displaystyle y_ {i} přibližně y (t_ {i}) quad { text {kde}} quad t_ {i} = t_ {0} + ih,}$

kde h je časový krok (někdy označovaný jako ${ displaystyle Delta t}$).

Popis metody

Pro náš popis sledujeme Butcher (2006), str. 189–190, i když poznamenáváme, že tuto metodu lze najít jinde.

Obecné lineární metody využívají dvě celá čísla, ${ displaystyle r}$, počet časových bodů v historii a ${ displaystyle s}$, počet kolokačních bodů. V případě ${ displaystyle r = 1}$, tyto metody se redukují na klasické Metody Runge – Kutta, a v případě ${ displaystyle s = 1}$, tyto metody se redukují na lineární vícestupňové metody.

Fázové hodnoty ${ displaystyle Y_ {i}}$ a jevištní deriváty, ${ displaystyle F_ {i}, i = 1,2, tečky s}$ jsou počítány z aproximací, ${ displaystyle y_ {i} ^ {[n-1]}, i = 1, tečky, r}$, v časovém kroku ${ displaystyle n}$:

${ displaystyle y ^ {[n-1]} = left [{ begin {matrix} y_ {1} ^ {[n-1]} y_ {2} ^ {[n-1]} vdots y_ {r} ^ {[n-1]} end {matrix}} right], quad y ^ {[n]} = left [{ begin {matrix} y_ {1 } ^ {[n]} y_ {2} ^ {[n]} vdots y_ {r} ^ {[n]} end {matrix}} right], quad Y = left [{ begin {matrix} Y_ {1} Y_ {2} vdots Y_ {s} end {matrix}} right], quad F = left [{ begin {matrix} F_ {1} F_ {2} vdots F_ {s} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} f (Y_ {1}) f (Y_ {2}) vdots f (Y_ {s}) end {matrix}} right].}$

Hodnoty fáze jsou definovány dvěma maticemi, ${ displaystyle A = [a_ {ij}]}$ a ${ displaystyle U = [u_ {ij}]}$:

${ displaystyle Y_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {s} a_ {ij} hF_ {j} + součet _ {j = 1} ^ {r} u_ {ij} y_ {j} ^ {[n-1]}, qquad i = 1,2, dots, s,}$

a aktuální aktualizace ${ displaystyle t ^ {n}}$ je definována dvěma maticemi, ${ displaystyle B = [b_ {ij}]}$ a ${ displaystyle V = [v_ {ij}]}$:

${ displaystyle y_ {i} ^ {[n]} = součet _ {j = 1} ^ {s} b_ {ij} hF_ {j} + součet _ {j = 1} ^ {r} v_ {ij } y_ {j} ^ {[n-1]}, qquad i = 1,2, dots, r.}$

Vzhledem ke čtyřem maticím ${ displaystyle A, U, B}$ a ${ displaystyle V}$, lze kompaktně napsat analog a Řeznické tablo tak jako,

${ displaystyle left [{ begin {matrix} Y y ^ {[n]} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} A otimes I&U otimes I B otimes I&V otimes I end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} F y ^ {[n-1]} end {matrix}} right],}$

kde ${ displaystyle otimes}$ znamenátenzorový produkt.

Příklady

Uvádíme příklad popsaný v (Butcher, 1996).^[7] Tato metoda se skládá z jediného „předpovězeného“ kroku a „opraveného“ kroku, který využívá další informace o historii času a jedinou hodnotu mezistupně.

Hodnota mezistupně je definována jako něco, co vypadá, že pochází z a lineární vícestupňová metoda:

${ displaystyle y_ {n-1/2} ^ {*} = y_ {n-2} + h left ({ frac {9} {8}} f (y_ {n-1}) + { frac {3} {8}} f (y_ {n-2}) right).}$

Počáteční „prediktor“ ${ displaystyle y_ {n} ^ {*}}$ používá hodnotu fáze ${ displaystyle y_ {n-1/2} ^ {*}}$ společně se dvěma částmi časové historie:

${ displaystyle y_ {n} ^ {*} = { frac {28} {5}} y_ {n-1} - { frac {23} {5}} y_ {n-2} + h vlevo ( { frac {32} {15}} f (y_ {n-1/2} ^ {*}) - 4f (y_ {n-1}) - { frac {26} {15}} f (y_ { n-2}) vpravo),}$

a konečná aktualizace je dána:

${ displaystyle y_ {n} = { frac {32} {31}} y_ {n-1} - { frac {1} {31}} y_ {n-2} + h left ({ frac { 5} {31}} f (y_ {n} ^ {*}) + { frac {64} {93}} f (y_ {n-1/2} ^ {*}) + { frac {4} {31}} f (y_ {n-1}) - { frac {1} {93}} f (y_ {n-2}) right).}$

Stručná reprezentace tabulky pro tuto metodu je dána:

${ displaystyle left [{ begin {array} {ccc | cccc} 0 a 0 a 0 a 0 a 1 & { frac {9} {8}} & { frac {3} {8}} { frac {32} {15} } & 0 & 0 & { frac {28} {5}} & - { frac {23} {5}} & - 4 & - { frac {26} {15}} { frac {64} {93}} & { frac {5} {31}} & 0 & { frac {32} {31}} & - { frac {1} {31}} & { frac {4} {31}} & - { frac {1} {93}} hline { frac {64} {93}} & { frac {5} {31}} & 0 & { frac {32} {31}} & - { frac {1 } {31}} & { frac {4} {31}} & - { frac {1} {93}} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 end {array}} right].}$

Viz také

• Metody Runge – Kutta
• Lineární vícestupňové metody
• Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice

Poznámky

Reference

• Butcher, John C. (leden 1965). "Modifikovaná vícestupňová metoda pro numerickou integraci obyčejných diferenciálních rovnic". Deník ACM. 12 (1): 124–135. doi:10.1145/321250.321261.
• Gear, C.W. (1965). "Hybridní metody pro problémy s počáteční hodnotou v obyčejných diferenciálních rovnicích". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. 2 (1): 69–86. Bibcode:1965SJNA .... 2 ... 69G. doi:10.1137/0702006. hdl:2027 / uiuo.ark: / 13960 / t4rj60q8s.
• Gragg, William B .; Hans J. Stetter (duben 1964). "Zobecněné vícestupňové metody prediktor-korektor". Deník ACM. 11 (2): 188–209. doi:10.1145/321217.321223.
• Hairer, Ernst; Wanner, Wanner (1973), „Vícestupňové, vícestupňové a multiderivativní metody pro běžné diferenciální rovnice“, Výpočetní, 11 (3): 287–303, doi:10.1007 / BF02252917.

externí odkazy

• Obecné lineární metody