Poloimplicitní Eulerova metoda - Semi-implicit Euler method

V matematice je částečně implicitní Eulerova metoda, také zvaný symplektický Euler, semi-explicitní Euler, Euler – Cromer, a Newton – Størmer – Verlet (NSV), je modifikací Eulerova metoda k řešení Hamiltonovy rovnice, systém obyčejné diferenciální rovnice který vzniká v klasická mechanika. Je to symplektický integrátor a proto poskytuje lepší výsledky než standardní Eulerova metoda.

Nastavení

Poloimplicitní Eulerovu metodu lze použít na pár diferenciální rovnice formuláře

${displaystyle {dx over dt} = f (t, v)}$^{[Citace je zapotřebí ]}

${displaystyle {dv over dt} = g (t, x),}$

kde F a G jsou uvedeny funkce. Tady, X a proti mohou být buď skaláry nebo vektory. Pohybové rovnice v Hamiltoniánská mechanika vezměte tento formulář, pokud je Hamiltonian ve formě

${displaystyle H = T (t, v) + V (t, x).,}$

Diferenciální rovnice je třeba řešit s počáteční podmínkou

${displaystyle x (t_ {0}) = x_ {0}, qquad v (t_ {0}) = v_ {0}.}$

Metoda

Poloimplicitní metoda Euler vytváří přibližnou hodnotu oddělený řešení iterací

${displaystyle {egin {aligned} v_ {n + 1} & = v_ {n} + g (t_ {n}, x_ {n}), Delta t [0,3em] x_ {n + 1} & = x_ { n} + f (t_ {n}, v_ {n + 1}), Delta tend {aligned}}}$

kde Δt je časový krok a t_n = t₀ + nΔt je čas po n kroky.

Rozdíl oproti standardní Eulerově metodě spočívá v tom, že používá semi-implicitní Eulerovu metodu proti_n+1 v rovnici pro X_n+1, zatímco používá Eulerova metoda proti_n.

Aplikace metody se záporným časovým krokem na výpočet ${displaystyle (x_ {n}, v_ {n})}$ z ${displaystyle (x_ {n + 1}, v_ {n + 1})}$ a přeskupení vede k druhé variantě semiimplicitní Eulerovy metody

${displaystyle {egin {aligned} x_ {n + 1} & = x_ {n} + f (t_ {n}, v_ {n}), Delta t [0,3em] v_ {n + 1} & = v_ { n} + g (t_ {n}, x_ {n + 1}), Delta tend {aligned}}}$

který má podobné vlastnosti.

Poloimplicitní Euler je a integrátor prvního řádu, stejně jako standardní Eulerova metoda. To znamená, že se dopustí globální chyby řádově Δt. Poloimplicitní Eulerova metoda je však a symplektický integrátor, na rozdíl od standardní metody. V důsledku toho semi-implicitní Eulerova metoda téměř šetří energii (když je Hamiltonian nezávislý na čase). Často energie se stabilně zvyšuje když je použita standardní Eulerova metoda, je mnohem méně přesná.

Střídání mezi dvěma variantami semiimplicitní Eulerovy metody vede v jednom zjednodušení k Störmer-Integrace verletů a v trochu jiném zjednodušení než přeskočit integraci, což zvyšuje jak pořadí chyb, tak i pořadí zachování energie.^[1]

Oblast stability semi-implicitní metody představil Niiranen^[2] ačkoli semi-implicitní Euler byl v jeho článku zavádějícím způsobem nazýván symetrický Euler. Semi-implicitní metoda modeluje simulovaný systém správně, pokud jsou komplexní kořeny charakteristické rovnice v níže uvedeném kruhu. U skutečných kořenů oblast stability zasahuje mimo kruh, pro který jsou kritéria ${displaystyle s> -2 / Delta t}$

Jak je vidět, semi-implicitní metoda může správně simulovat jak stabilní systémy, které mají své kořeny v levé polovině roviny, tak nestabilní systémy, které mají své kořeny v pravé polovině roviny. To je jasná výhoda oproti dopředu (standardní) Euler a dozadu Euler. Dopředu Euler má tendenci mít menší tlumení než skutečný systém, když se záporné reálné části kořenů přiblíží k imaginární ose a zpětný Euler může ukázat, že systém je stabilní, i když jsou kořeny v pravé poloviční rovině.

Příklad

Pohyb a jaro uspokojující Hookeův zákon darováno

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dx} {dt}} & = v (t) [0.2em] {frac {dv} {dt}} & = - {frac {k} {m}}, x = -omega ^ {2}, x.end {zarovnáno}}}$

Poloimplicitní Euler pro tuto rovnici je

${displaystyle {egin {aligned} v_ {n + 1} & = v_ {n} -omega ^ {2}, x_ {n}, Delta t [0,2em] x_ {n + 1} & = x_ {n} + v_ {n + 1}, Delta t.end {zarovnáno}}}$

Střídání ${displaystyle v_ {n + 1}}$ ve druhé rovnici s výrazem daným první rovnicí lze iteraci vyjádřit v následující maticové formě

${displaystyle {egin {bmatrix} x_ {n + 1} v_ {n + 1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 1-omega ^ {2} Delta t ^ {2} & Delta t -omega ^ {2} Delta t & 1end {bmatrix}} {egin {bmatrix} x_ {n} v_ {n} konec {bmatrix}},}$

a protože determinant matice je 1, transformace zachovává plochu.

Iterace zachovává funkční modifikovanou energii ${displaystyle E_ {h} (x, v) = {frac {1} {2}} vlevo (v ^ {2} + omega ^ {2}, x ^ {2} -omega ^ {2} Delta t, vxight )}$ přesně, což vede ke stabilním periodickým dráhám (pro dostatečně malou velikost kroku), které se odchylují o ${displaystyle O (Delta t)}$ z přesných drah. Přesná kruhová frekvence ${displaystyle omega}$ zvýšení numerické aproximace o faktor ${displaystyle 1+ {frac {1} {24}} omega ^ {2} Delta t ^ {2} + O (Delta t ^ {4})}$.

Reference

• Giordano, Nicholas J .; Hisao Nakanishi (červenec 2005). Výpočetní fyzika (2. vyd.). Benjamin Cummings. ISBN  0-13-146990-8.
• MacDonald, James. „Metoda Euler-Cromer“. University of Delaware. Citováno 2013-04-11.
• Veselý, Franz J. (2001). Výpočetní fyzika: Úvod (2. vyd.). Springer. str.117. ISBN  978-0-306-46631-1.