Trapézové pravidlo (diferenciální rovnice) - Trapezoidal rule (differential equations)

v numerická analýza a vědecké výpočty, lichoběžníkové pravidlo je numerická metoda řešení obyčejných diferenciálních rovnic odvozeno z lichoběžníkové pravidlo pro výpočetní integrály. Lichoběžníkové pravidlo je implicitní metoda druhého řádu, kterou lze považovat za a Metoda Runge – Kutta a a lineární vícestupňová metoda.

Metoda

Předpokládejme, že chceme vyřešit diferenciální rovnici

${ displaystyle y '= f (t, y).}$

Lichoběžníkové pravidlo je dáno vzorcem

${ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + { tfrac {1} {2}} h { Big (} f (t_ {n}, y_ {n}) + f (t_ {n + 1}, y_ {n + 1}) { Big)},}$

kde ${ displaystyle h = t_ {n + 1} -t_ {n}}$ je velikost kroku.^[1]

Toto je implicitní metoda: hodnota ${ displaystyle y_ {n + 1}}$ se objeví na obou stranách rovnice a pro její skutečný výpočet musíme vyřešit rovnici, která bude obvykle nelineární. Jednou z možných metod řešení této rovnice je Newtonova metoda. Můžeme použít Eulerova metoda získat poměrně dobrý odhad řešení, který lze použít jako počáteční odhad Newtonovy metody.^[2] To je ekvivalentní provedení Heunova metoda.

Motivace

Integrace diferenciální rovnice z ${ displaystyle t_ {n}}$ na ${ displaystyle t_ {n + 1}}$, zjistíme, že

${ displaystyle y (t_ {n + 1}) - y (t_ {n}) = int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)) , mathrm {d} t.}$

The lichoběžníkové pravidlo uvádí, že integrál na pravé straně lze aproximovat jako

${ displaystyle int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)) , mathrm {d} t cca { tfrac {1} {2}} h { Big (} f (t_ {n}, y (t_ {n})) + f (t_ {n + 1}, y (t_ {n + 1})) { Big)}.}$

Nyní zkombinujte oba vzorce a použijte je ${ displaystyle y_ {n} přibližně y (t_ {n})}$ a ${ displaystyle y_ {n + 1} přibližně y (t_ {n + 1})}$ získat lichoběžníkové pravidlo pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic.^[3]

Analýza chyb

Z chybové analýzy lichoběžníkového pravidla pro kvadraturu vyplývá, že chyba místního zkrácení ${ displaystyle tau _ {n}}$ lichoběžníkového pravidla pro řešení diferenciálních rovnic lze ohraničit jako:

${ displaystyle | tau _ {n} | leq { tfrac {1} {12}} h ^ {3} max _ {t} | y '' '(t) |.}$

Trapézové pravidlo je tedy metodou druhého řádu.^{[Citace je zapotřebí ]} Tento výsledek lze použít k prokázání, že globální chyba je ${ displaystyle O (h ^ {2})}$ jako velikost kroku ${ displaystyle h}$ má sklon k nule (viz velká O notace ve smyslu tohoto).^[4]

Stabilita

Růžová oblast je oblastí stability pro lichoběžníkovou metodu.

The oblast absolutní stability pro lichoběžníkové pravidlo je

${ displaystyle {z in mathbb {C} mid operatorname {Re} (z) <0 }.}$

To zahrnuje rovinu levé poloviny, takže lichoběžníkové pravidlo je stabilní. Druhá Dahlquistova bariéra uvádí, že lichoběžníkové pravidlo je nejpřesnější z A-stabilních lineárních vícestupňových metod. Přesněji řečeno, lineární vícestupňová metoda, která je stabilní, má nanejvýš řád dva a chybová konstanta lineární vícestupňové metody stabilního druhého řádu A nemůže být lepší než chybová konstanta lichoběžníkového pravidla.^[5]

Ve skutečnosti je oblast absolutní stability pro lichoběžníkové pravidlo přesně levá polovina roviny. To znamená, že pokud se na rovnici lineárního testu použije lichoběžníkové pravidlo y ' = λy, numerické řešení se rozpadá na nulu právě tehdy, když ano přesné řešení.

Poznámky

Reference

• Iserles, Arieh (1996), První kurz numerické analýzy diferenciálních rovnic, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Úvod do numerické analýzy, Cambridge University Press, ISBN  0521007941.

Viz také

• Metoda Crank – Nicolson