Vzorec zpětné diferenciace - Backward differentiation formula - Wikipedia

The vzorec zpětné diferenciace (BDF) je rodina implicitních metod pro numerická integrace obyčejných diferenciálních rovnic. Oni jsou lineární vícestupňové metody že pro danou funkci a čas aproximuje derivaci této funkce pomocí informací z již vypočítaných časových bodů, čímž zvyšuje přesnost aproximace. Tyto metody se používají zejména pro řešení tuhé diferenciální rovnice. Metody byly poprvé představeny Charles F. Curtiss a Joseph O. Hirschfelder v roce 1952.^[1]

Obecný vzorec

BDF se používá k řešení problém počáteční hodnoty

${ displaystyle y '= f (t, y), quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Obecný vzorec pro BDF lze zapsat jako ^[2]

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {s} a_ {k} y_ {n + k} = h beta f (t_ {n + s}, y_ {n + s}),}$

kde ${ displaystyle h}$ označuje velikost kroku a ${ displaystyle t_ {n} = t_ {0} + nh}$. Od té doby ${ displaystyle f}$ je vyhodnocen jako neznámý ${ displaystyle y_ {n + s}}$, Metody BDF jsou implicitní a případně vyžadovat řešení nelineárních rovnic v každém kroku. Koeficienty ${ displaystyle a_ {k}}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou vybrány tak, aby metoda dosáhla řádu ${ displaystyle s}$, což je maximum možné.

Odvození koeficientů

Počínaje vzorcem ${ textový styl y '(t_ {n + s}) = f (t_ {n + s}, y (t_ {n + s}))}$ jeden přibližný ${ displaystyle y (t_ {n + s}) přibližně y_ {n + s}}$ a ${ displaystyle y '(t_ {n + s}) přibližně p_ {n, s}' (t_ {n + s})}$, kde ${ displaystyle p_ {n, s} (t)}$ je Lagrangeův interpolační polynom za body ${ displaystyle (t_ {n}, y_ {n}), ldots, (t_ {n + s}, y_ {n + s})}$. Pomocí toho ${ displaystyle t_ {n} = t_ {0} + nh}$ a vynásobením ${ displaystyle h}$ jeden dorazí k metodě objednávky BDF ${ displaystyle s}$.

Specifické vzorce

The s-krok BDF s s <7 jsou:^[3]

• BDF1: ${ displaystyle y_ {n + 1} -y_ {n} = hf (t_ {n + 1}, y_ {n + 1})}$ (to je zpětně Eulerova metoda )
• BDF2: ${ displaystyle y_ {n + 2} - { tfrac {4} {3}} y_ {n + 1} + { tfrac {1} {3}} y_ {n} = { tfrac {2} {3 }} hf (t_ {n + 2}, y_ {n + 2})}$
• BDF3: ${ displaystyle y_ {n + 3} - { tfrac {18} {11}} y_ {n + 2} + { tfrac {9} {11}} y_ {n + 1} - { tfrac {2} {11}} y_ {n} = { tfrac {6} {11}} hf (t_ {n + 3}, y_ {n + 3})}$
• BDF4: ${ displaystyle y_ {n + 4} - { tfrac {48} {25}} y_ {n + 3} + { tfrac {36} {25}} y_ {n + 2} - { tfrac {16} {25}} y_ {n + 1} + { tfrac {3} {25}} y_ {n} = { tfrac {12} {25}} hf (t_ {n + 4}, y_ {n + 4 })}$
• BDF5: ${ displaystyle y_ {n + 5} - { tfrac {300} {137}} y_ {n + 4} + { tfrac {300} {137}} y_ {n + 3} - { tfrac {200} {137}} y_ {n + 2} + { tfrac {75} {137}} y_ {n + 1} - { tfrac {12} {137}} y_ {n} = { tfrac {60} { 137}} hf (t_ {n + 5}, y_ {n + 5})}$
• BDF6: ${ displaystyle y_ {n + 6} - { tfrac {360} {147}} y_ {n + 5} + { tfrac {450} {147}} y_ {n + 4} - { tfrac {400} {147}} y_ {n + 3} + { tfrac {225} {147}} y_ {n + 2} - { tfrac {72} {147}} y_ {n + 1} + { tfrac {10 } {147}} y_ {n} = { tfrac {60} {147}} hf (t_ {n + 6}, y_ {n + 6})}$

Metody s s > 6 není nulová stabilita takže je nelze použít.^[4]

Stabilita

Stabilita numerických metod řešení tuhé rovnice je indikována jejich oblastí absolutní stability. U metod BDF jsou tyto oblasti zobrazeny na obrázcích níže.

V ideálním případě oblast obsahuje levou polovinu komplexní roviny, v takovém případě se říká, že metoda je A-stabilní. Nicméně, lineární vícestupňové metody s objednávkou větší než 2 nemůže být A-stabilní. Oblast stability metod BDF vyššího řádu obsahuje velkou část levé poloroviny a zejména celou zápornou skutečnou osu. Metody BDF jsou nejúčinnější lineární vícestupňové metody tohoto druhu.^[4]

Reference

Citace

Doporučená díla

• Ascher, USA; Petzold, L. R. (1998), Počítačové metody pro běžné diferenciální rovnice a diferenciálně-algebraické rovnice, SIAM, Filadelfie, ISBN  0-89871-412-5.
• Iserles, Arieh (1996), První kurz numerické analýzy diferenciálních rovnic, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Úvod do numerické analýzy, Cambridge University Press, ISBN  0-521-00794-1.

Další čtení

• Metody BDF na wiki SUNDIALS (SUNDIALS je knihovna implementující metody BDF a podobné algoritmy).