Multisymplektický integrátor - Multisymplectic integrator

v matematika, a multisymplektický integrátor je numerická metoda pro řešení určité třídy parciální diferenciální rovnice, o kterých se říká, že jsou multisymplektické. Multisymplektické integrátory jsou geometrické integrátory, což znamená, že zachovávají geometrii problémů; zejména numerická metoda v určitém smyslu zachovává energii a hybnost, podobně jako samotná parciální diferenciální rovnice. Mezi příklady multisymplektických integrátorů patří schéma Eulerovy skříňky a Preissmanovy schéma skříně.

Multisymplektické rovnice

O parciální diferenciální rovnici (PDE) se říká, že a multisymplektická rovnice pokud to lze napsat ve formě

${ displaystyle Kz_ {t} + Lz_ {x} = nabla S (z),}$

kde ${ displaystyle z (t, x)}$ je neznámo, ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle L}$ jsou (konstantní) zkosené symetrické matice a ${ displaystyle nabla S}$ označuje spád z ${ displaystyle S}$.^[1] Toto je přirozené zobecnění ${ displaystyle Jz_ {t} = nabla H (z)}$, forma a Hamiltonian ODE.^[2]

Příklady multisymplektických PDE zahrnují nelineární Klein-Gordonova rovnice ${ displaystyle u_ {tt} -u_ {xx} = V '(u)}$, nebo obecněji nelineární vlnová rovnice ${ displaystyle u_ {tt} = částečné _ {x} sigma '(u_ {x}) - f' (u)}$,^[3] a KdV rovnice ${ displaystyle u_ {t} + uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}$.^[4]

Definujte 2 formy ${ displaystyle omega}$ a ${ displaystyle kappa}$ podle

${ displaystyle omega (u, v) = langle Ku, v rangle quad { text {a}} quad kappa (u, v) = langle Lu, v rangle}$

kde ${ displaystyle langle , cdot ,, , cdot , rangle}$ označuje Tečkovaný produkt. Diferenciální rovnice zachovává symplektičnost v tom smyslu

${ displaystyle částečné _ {t} omega + částečné _ {x} kappa = 0.}$^[5]

Vezmeme bodový produkt PDE s ${ displaystyle u_ {t}}$ dává místní zákon o ochraně přírody pro energii:

${ displaystyle částečné _ {t} E (u) + částečné _ {x} F (u) = 0 quad { text {kde}} quad E (u) = S (u) - { tfrac {1} {2}} kappa (u_ {x}, u), , F (u) = { tfrac {1} {2}} kappa (u_ {t}, u).}$^[6]

Místní zákon zachování hybnosti je odvozen podobně:

${ displaystyle částečné _ {t} I (u) + částečné _ {x} G (u) = 0 quad { text {kde}} quad I (u) = { tfrac {1} {2 }} omega (u_ {x}, u), , G (u) = S (u) - { tfrac {1} {2}} omega (u_ {t}, u).}$^[6]

Schéma pole Euler

Multisymplektický integrátor je numerická metoda pro řešení multisymplektických PDE, jejichž numerické řešení zachovává diskrétní formu symplekticity.^[7] Jedním příkladem je schéma Eulerova pole, které je odvozeno použitím symlektická Eulerova metoda ke každé nezávislé proměnné.^[8]

Schéma pole Euler používá rozdělení skewsymmetrických matic ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle L}$ formuláře:

${ displaystyle { begin {aligned} K & = K _ {+} + K _ {-} quad { text {with}} quad K _ {-} = - K _ {+} ^ {T}, L & = L _ {+} + L _ {-} quad { text {with}} quad L _ {-} = - L _ {+} ^ {T}. End {zarovnáno}}}$

Například lze vzít ${ displaystyle K _ {+}}$ a ${ displaystyle L _ {+}}$ být horní trojúhelníkovou částí ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle L}$, resp.^[9]

Nyní představte a jednotná mřížka a nechte ${ displaystyle u_ {n, i}}$ označit přiblížení k ${ displaystyle u (n Delta {t}, i Delta {x})}$ kde ${ displaystyle Delta {t}}$ a ${ displaystyle Delta {x}}$ jsou rozteče mřížky ve směru času a prostoru. Pak je schéma pole Euler

${ displaystyle K _ {+} částečné _ {t} ^ {+} u_ {n, i} + K _ {-} částečné _ {t} ^ {-} u_ {n, i} + L _ {+} částečné _ {x} ^ {+} u_ {n, i} + L _ {-} částečné _ {x} ^ {-} u_ {n, i} = nabla {S} (u_ {n, i}) }$

Kde konečný rozdíl operátory jsou definovány

${ displaystyle { begin {zarovnáno} částečný _ {t} ^ {+} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n + 1, i} -u_ {n, i}} { Delta {t}}}, & částečný _ {x} ^ {+} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n, i + 1} -u_ {n, i}} { Delta {x }}}, [1ex] částečný _ {t} ^ {-} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n, i} -u_ {n-1, i}} { Delta {t}}}, částečné _ {x} ^ {-} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n, i} -u_ {n, i-1}} { Delta {x }}}. end {zarovnáno}}}$ ^[10]

Schéma Eulerovy krabice je metoda prvního řádu,^[8] který splňuje diskrétní zákon zachování

${ displaystyle částečné _ {t} ^ {+} omega _ {n, i} + částečné _ {x} ^ {+} kappa _ {n, i} = 0 quad { text {kde} } quad omega _ {n, i} = mathrm {d} u_ {n, i-1} klín K _ {+} , mathrm {d} u_ {n, i} quad { text { a}} quad kappa _ {n, i} = mathrm {d} u_ {n-1, i} klín L _ {+} , mathrm {d} u_ {n, i}.}$^[11]

Schéma Preissmanova pole

Dalším multisymplektickým integrátorem je Preissmanovo boxové schéma, které zavedl Preissman v kontextu hyperbolických PDE.^[12] To je také známé jako schéma centrovaných buněk.^[13] Schéma pole Preissman lze odvodit použitím Implicitní pravidlo středu, což je symplektický integrátor, ke každé z nezávislých proměnných.^[14] To vede k schématu

${ displaystyle K částečné _ {t} ^ {+} u_ {n, i + 1/2} + L částečné _ {x} ^ {+} u_ {n + 1/2, i} = nabla { S} (u_ {n + 1/2, i + 1/2}),}$

kde operátory konečných rozdílů ${ displaystyle částečné _ {t} ^ {+}}$ a ${ displaystyle částečné _ {x} ^ {+}}$ jsou definovány tak, jak je uvedeno výše, a hodnoty u polovičních celých čísel jsou definovány pomocí

${ displaystyle u_ {n, i + 1/2} = { frac {u_ {n, i} + u_ {n, i + 1}} {2}}, quad u_ {n + 1/2, i } = { frac {u_ {n, i} + u_ {n + 1, i}} {2}}, u_ {n + 1/2, i + 1/2} = { frac {u_ {n, i} + u_ {n, i + 1} + u_ {n + 1, i} + u_ {n + 1, i + 1}} {4}}.}$ ^[14]

Schéma Preissmanova pole je multisymplektický integrátor druhého řádu, který splňuje diskrétní zákon zachování

${ displaystyle částečné _ {t} ^ {+} omega _ {n, i} + částečné _ {x} ^ {+} kappa _ {n, i} = 0 quad { text {kde} } quad omega _ {n, i} = mathrm {d} u_ {n, i + 1/2} klín K , mathrm {d} u_ {n, i + 1/2} quad { text {and}} quad kappa _ {n, i} = mathrm {d} u_ {n + 1/2, i} klín L , mathrm {d} u_ {n + 1/2, i}.}$^[15]

Poznámky

Reference

• Abbott, M.B .; Basco, D.R. (1989), Výpočetní dynamika tekutin, Longman Scientific.
• Bridges, Thomas J. (1997), „Geometrická formulace zachování působení vln a její důsledky pro podpis a klasifikaci nestabilit“ (PDF), Proc. R. Soc. Lond. A, 453 (1962): 1365–1395, doi:10.1098 / rspa.1997.0075.
• Bridges, Thomas J .; Reich, Sebiastian (2001), „Multisymplektické integrátory: Numerická schémata pro hamiltonovské PDE, která zachovávají symplektičnost“, Phys. Lett. A, 284 (4–5): 184–193, CiteSeerX  10.1.1.46.2783, doi:10.1016 / S0375-9601 (01) 00294-8.
• Leimkuhler, Benedikt; Reich, Sebastian (2004), Simulace hamiltonovské dynamiky, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-77290-7.
• Islas, A.L .; Schober, C.M. (2004), „O zachování struktury fázového prostoru při multisymplektické diskretizaci“, J. Comput. Phys., 197 (2): 585–609, doi:10.1016 / j.jcp.2003.12.010.
• Moore, Brian; Reich, Sebastian (2003), „Zpětná analýza chyb pro metody multisymplexické integrace“, Číslo. Matematika., 95 (4): 625–652, CiteSeerX  10.1.1.163.8683, doi:10.1007 / s00211-003-0458-9.