Metoda středního bodu - Midpoint method

Ilustrace metody středního bodu za předpokladu, že ${ displaystyle y_ {n}}$ se rovná přesné hodnotě ${ displaystyle y (t_ {n}).}$ Metoda středního bodu se počítá ${ displaystyle y_ {n + 1}}$ takže červený akord je přibližně rovnoběžný s tečnou ve středu (zelená čára).

v numerická analýza, pobočka aplikovaná matematika, metoda středního bodu je jednokroková metoda pro numericky řešení diferenciální rovnice,

${ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$.

Metoda explicitního středu je dána vzorcem

${ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf left (t_ {n} + { frac {h} {2}}, y_ {n} + { frac {h} {2}} f (t_ {n}, y_ {n}) vpravo), qquad qquad (1e)}$

implicitní metoda středního bodu

${ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf left (t_ {n} + { frac {h} {2}}, { frac {1} {2}} (y_ {n} + y_ {n + 1}) right), qquad qquad (1i)}$

pro ${ displaystyle n = 0,1,2, tečky}$ Tady, ${ displaystyle h}$ je velikost kroku - malé kladné číslo, ${ displaystyle t_ {n} = t_ {0} + nh,}$ a ${ displaystyle y_ {n}}$ je vypočítaná přibližná hodnota ${ displaystyle y (t_ {n}).}$ Metoda explicitního středu je někdy také známá jako upravená Eulerova metoda^[1], implicitní metoda je nejjednodušší kolokační metoda, a aplikován na Hamiltonovu dynamiku, a symplektický integrátor. Všimněte si, že upravená Eulerova metoda může odkazovat na Heunova metoda^[2], pro další jasnost viz Seznam metod Runge – Kutta.

Název metody pochází ze skutečnosti, že ve výše uvedeném vzorci je funkce ${ displaystyle f}$ udání sklonu řešení se hodnotí na ${ displaystyle t = t_ {n} + h / 2 = { tfrac {t_ {n} + t_ {n + 1}} {2}},}$ střed mezi ${ displaystyle t_ {n}}$ při které hodnota ${ displaystyle y (t)}$ je známo a ${ displaystyle t_ {n + 1}}$ při které hodnota ${ displaystyle y (t)}$ je třeba najít.

Geometrická interpretace může poskytnout lepší intuitivní pochopení metody (viz obrázek vpravo). V základním Eulerova metoda, tečna křivky v ${ displaystyle (t_ {n}, y_ {n})}$ se počítá pomocí ${ displaystyle f (t_ {n}, y_ {n})}$. Další hodnota ${ displaystyle y_ {n + 1}}$ se nachází tam, kde tečna protíná svislou čáru ${ displaystyle t = t_ {n + 1}}$. Pokud je však druhá derivace pouze pozitivní mezi ${ displaystyle t_ {n}}$ a ${ displaystyle t_ {n + 1}}$, nebo pouze záporné (jako v diagramu), bude se křivka stále více odklánět od tangenty, což povede k větším chybám jako ${ displaystyle h}$ zvyšuje. Diagram ilustruje, že tečna ve středu (horní segment zelené čáry) by s největší pravděpodobností poskytla přesnější aproximaci křivky v tomto intervalu. Tuto tečnu středu však nebylo možné přesně vypočítat, protože neznáme křivku (to je to, co se má vypočítat). Místo toho se tato tangenta odhaduje pomocí původní Eulerovy metody k odhadu hodnoty ${ displaystyle y (t)}$ ve středu, pak vypočítat sklon tečny s ${ displaystyle f ()}$. Nakonec se vylepšená tangenta použije k výpočtu hodnoty ${ displaystyle y_ {n + 1}}$ z ${ displaystyle y_ {n}}$. Tento poslední krok je v diagramu znázorněn červeným akordem. Všimněte si, že červený akord není přesně rovnoběžný se zeleným segmentem (skutečnou tečnou), kvůli chybě v odhadu hodnoty ${ displaystyle y (t)}$ ve středu.

Místní chyba v každém kroku metody středního bodu je řádová ${ displaystyle O left (h ^ {3} right)}$, což dává globální chybu objednávky ${ displaystyle O left (h ^ {2} right)}$. Zatímco tedy výpočetně náročnější než Eulerova metoda, chyba metody středního bodu obecně klesá rychleji jako ${ displaystyle h to 0}$.

Metody jsou příklady třídy metod vyššího řádu známých jako Metody Runge – Kutta.

Odvození metody středního bodu

Ilustrace numerické integrace pro rovnici ${ displaystyle y '= y, y (0) = 1.}$ Modrá: Eulerova metoda, zelená: metoda středního bodu, červená: přesné řešení, ${ displaystyle y = e ^ {t}.}$ Velikost kroku je ${ displaystyle h = 1.0.}$

Stejná ilustrace pro ${ displaystyle h = 0,25.}$ Je vidět, že metoda středního bodu konverguje rychleji než metoda Euler.

Metoda středu je zdokonalením Eulerovy metody

${ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (t_ {n}, y_ {n}), ,}$

a je odvozen podobným způsobem. Klíčem k odvození Eulerovy metody je přibližná rovnost

${ Displaystyle y (t + h) přibližně y (t) + hf (t, y (t)) qquad qquad (2)}$

který se získá ze svahového vzorce

${ displaystyle y '(t) cca { frac {y (t + h) -y (t)} {h}} qquad qquad (3)}$

a pamatujte na to ${ displaystyle y '= f (t, y).}$

U metod středního bodu nahradíme (3) přesnějšími

${ displaystyle y ' left (t + { frac {h} {2}} right) přibližně { frac {y (t + h) -y (t)} {h}}}$

když místo (2) najdeme

${ displaystyle y (t + h) přibližně y (t) + hf vlevo (t + { frac {h} {2}}, y vlevo (t + { frac {h} {2}} vpravo) right). qquad qquad (4)}$

Tuto rovnici nelze použít k nalezení ${ displaystyle y (t + h)}$ jak člověk neví ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle t + h / 2}$. Řešením je pak použít a Taylor série rozšíření přesně jako při použití Eulerova metoda vyřešit ${ displaystyle y (t + h / 2)}$:

${ displaystyle y left (t + { frac {h} {2}} right) přibližně y (t) + { frac {h} {2}} y '(t) = y (t) + { frac {h} {2}} f (t, y (t)),}$

který nám po připojení (4) dává

${ displaystyle y (t + h) přibližně y (t) + hf vlevo (t + { frac {h} {2}}, y (t) + { frac {h} {2}} f (t , y (t)) vpravo)}$

a explicitní metoda středního bodu (1e).

Implicitní metoda (1i) se získá aproximací hodnoty v půl kroku ${ displaystyle t + h / 2}$ středem úsečky od ${ displaystyle y (t)}$ na ${ displaystyle y (t + h)}$

${ displaystyle y left (t + { frac {h} {2}} right) přibližně { frac {1} {2}} { bigl (} y (t) + y (t + h) { bigr)}}$

a tudíž

${ displaystyle { frac {y (t + h) -y (t)} {h}} přibližně y ' vlevo (t + { frac {h} {2}} vpravo) přibližně k = f vlevo (t + { frac {h} {2}}, { frac {1} {2}} { bigl (} y (t) + y (t + h) { bigr)} vpravo)}$

Vložení aproximace ${ displaystyle y_ {n} + h , k}$ pro ${ displaystyle y (t_ {n} + h)}$vede k implicitní metodě Runge-Kutta

${ displaystyle { begin {aligned} k & = f left (t_ {n} + { frac {h} {2}}, y_ {n} + { frac {h} {2}} k right) y_ {n + 1} & = y_ {n} + h , k end {zarovnáno}}}$

který obsahuje implicitní Eulerovu metodu s velikostí kroku ${ displaystyle h / 2}$ jako jeho první část.

Kvůli časové symetrii implicitní metody jsou všechny termíny rovnoměrného stupně ${ displaystyle h}$ místní chyby zrušit, takže místní chyba je automaticky v pořádku ${ displaystyle { mathcal {O}} (h ^ {3})}$. Nahrazení implicitní explicitní Eulerovou metodou při určování ${ displaystyle k}$ vede opět k explicitní metodě středního bodu.

Viz také

• Obdélníková metoda
• Heunova metoda
• Integrace přeskočení a Integrace verletů

Poznámky

Reference

• Griffiths, D. PROTI.; Smith, I. M. (1991). Numerické metody pro inženýry: programovací přístup. Boca Raton: CRC Press. p. 218. ISBN  0-8493-8610-1.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Úvod do numerické analýzy, Cambridge University Press, ISBN  0-521-00794-1.
• Burden, Richard; Faires, John (2010). Numerická analýza. Richard Stratton. p. 286. ISBN  0-538-73351-9.