Zpětná Eulerova metoda - Backward Euler method

v numerická analýza a vědecké výpočty, zpětně Eulerova metoda (nebo implicitní Eulerova metoda) je jedním z nejzákladnějších numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Je to podobné jako (standard) Eulerova metoda, ale liší se v tom, že se jedná o implicitní metoda. Zpětná metoda Euler má chybu objednávky jedna v čase.

Popis

Zvažte obyčejná diferenciální rovnice

${displaystyle {frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} t}} = f (t, y)}$

s počáteční hodnotou ${displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}.}$ Zde funkce ${displaystyle f}$ a počáteční data ${displaystyle t_ {0}}$ a ${displaystyle y_ {0}}$ jsou známy; funkce ${displaystyle y}$ záleží na reálné proměnné ${displaystyle t}$ a není znám. Numerická metoda vytvoří sekvenci ${displaystyle y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, ldots}$ takhle ${displaystyle y_ {k}}$ přibližný ${displaystyle y (t_ {0} + kh)}$, kde ${displaystyle h}$ se nazývá velikost kroku.

Zpětná Eulerova metoda počítá aproximace pomocí

${displaystyle y_ {k + 1} = y_ {k} + hf (t_ {k + 1}, y_ {k + 1}).}$ ^[1]

To se liší od (vpřed) Eulerovy metody v tom, že tato používá ${displaystyle f (t_ {k}, y_ {k})}$ namísto ${displaystyle f (t_ {k + 1}, y_ {k + 1})}$.

Zpětná Eulerova metoda je implicitní metoda: nová aproximace ${displaystyle y_ {k + 1}}$ Objeví se na obou stranách rovnice, a proto musí metoda vyřešit algebraickou rovnici pro neznámé ${displaystyle y_ {k + 1}}$. Pro ne-tuhý problémy, to lze provést iterace s pevným bodem:

${displaystyle y_ {k + 1} ^ {[0]} = y_ {k}, čtyřkolka y_ {k + 1} ^ {[i + 1]} = y_ {k} + hf (t_ {k + 1}, y_ {k + 1} ^ {[i]}).}$

Pokud tato posloupnost konverguje (v rámci dané tolerance), pak metoda bere svůj limit jako novou aproximaci${displaystyle y_ {k + 1}}$.^[2]

Alternativně lze použít (některé úpravy) Newton – Raphsonova metoda vyřešit algebraickou rovnici.

Derivace

Integrace diferenciální rovnice ${displaystyle {frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} t}} = f (t, y)}$ z ${displaystyle t_ {n}}$ na ${displaystyle t_ {n + 1} = t_ {n} + h}$ výnosy

${displaystyle y (t_ {n + 1}) - y (t_ {n}) = int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)), mathrm {d } t.}$

Nyní aproximujte integrál napravo pravou rukou obdélníková metoda (s jedním obdélníkem):

${displaystyle y (t_ {n + 1}) - y (t_ {n}) přibližně hf (t_ {n + 1}, y (t_ {n + 1}))}}$

Nakonec to použijte ${displaystyle y_ {n}}$ se má přibližovat ${displaystyle y (t_ {n})}$ a následuje vzorec pro zpětnou Eulerovu metodu.^[3]

Stejné uvažování vede k (standardní) Eulerově metodě, pokud je místo pravého pravítka použito pravidlo levého obdélníku.

Analýza

Růžová oblast mimo disk ukazuje oblast stability zpětné Eulerovy metody.

Zpětná Eulerova metoda má pořadí jedna. To znamená, že chyba místního zkrácení (definovaná jako chyba v jednom kroku) je ${displaystyle O (h ^ {2})}$, za použití velká O notace. Chyba v určitou dobu ${displaystyle t}$ je ${displaystyle O (h)}$.

The oblast absolutní stability pro zpětnou Eulerovu metodu je doplněk v komplexní rovině disku s poloměrem 1 se středem 1, znázorněným na obrázku.^[4] To zahrnuje celou levou polovinu komplexní roviny, takže je vhodná pro řešení tuhé rovnice.^[5] Ve skutečnosti je zpětná Eulerova metoda rovnoměrná L-stabilní.

Oblast pro diskrétní stabilní systém metodou Backward Euler je kruh s poloměrem 0,5, který je umístěn na (0,5, 0) v rovině z.^[6]

Rozšíření a úpravy

Zpětná Eulerova metoda je variantou (dopředu) Eulerova metoda. Další varianty jsou částečně implicitní Eulerova metoda a exponenciální Eulerova metoda.

Na zpětnou Eulerovu metodu lze pohlížet jako na Metoda Runge – Kutta s jednou fází, popsanou Butcherovým tablem:

${displaystyle {egin {array} {c | c} 1 & 1 hline & 1 end {array}}}$

Na zpětnou Eulerovu metodu lze pohlížet také jako na lineární vícestupňová metoda jedním krokem. Jedná se o první metodu rodiny Adams – Moultonovy metody, a také rodiny vzorce zpětné diferenciace.

Viz také

• Metoda Crank – Nicolson

Poznámky

Reference

• Řezník, John C. (2003), Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice, New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-96758-3.