Symetrická derivace - Symmetric derivative
v matematika, symetrická derivace je úkon zobecňující obyčejné derivát. Je definován jako:
Výraz pod limitem se někdy nazývá symetrický rozdílový kvocient.[3][4] Funkce se říká, že je symetricky diferencovatelné v určitém okamžiku X pokud v tomto bodě existuje jeho symetrická derivace.
Pokud je funkce rozlišitelný (v obvyklém smyslu) v určitém okamžiku, pak je také symetricky diferencovatelné, ale obrácení není pravdivé. Známým protikladem je absolutní hodnota funkce F(X) = |X|, který nelze v X = 0, ale je zde symetricky diferencovatelný se symetrickou derivací 0. U diferencovatelných funkcí poskytuje kvocient symetrického rozdílu lepší numerická aproximace derivace než obvyklý rozdílový kvocient.[3]
Symetrická derivace v daném bodě se rovná aritmetický průměr z levý a pravý derivát v tom okamžiku, pokud oba dva existují.[1][5]
Ani Rolleova věta ani věta o střední hodnotě podržet pro symetrickou derivaci; byla prokázána některá podobná, ale slabší tvrzení.
Příklady
Funkce absolutní hodnoty
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Modulusfunction.png/220px-Modulusfunction.png)
Pro absolutní hodnota funkce pomocí notace pro symetrickou derivaci máme na že
Symetrický derivát funkce absolutní hodnoty tedy existuje na a rovná se nule, i když v daném bodě neexistuje její běžná derivace (kvůli „ostrému“ obratu křivky v ).
V tomto příkladu si všimněte, že levý i pravý derivát na 0 existují, ale jsou nerovné (jeden je -1 a druhý +1); jejich průměr je podle očekávání 0.
Funkce X−2
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Graphinversesqrt.png/220px-Graphinversesqrt.png)
Pro funkci , máme, na ,
Opět platí, že pro tuto funkci existuje symetrická derivace na , zatímco jeho obyčejný derivát neexistuje na kvůli diskontinuitě v křivce. Navíc ani levý, ani pravý derivát není konečný na 0; tj. toto je zásadní diskontinuita.
Dirichletova funkce
The Dirichletova funkce, definováno jako
má u každého symetrickou derivaci , ale není vůbec symetricky diferencovatelný ; tj. symetrická derivace existuje v racionální čísla ale ne v iracionální čísla.
Věta o kvazi-střední hodnotě
Symetrický derivát se neřídí obvyklým věta o střední hodnotě (Lagrangeova). Jako protiklad je uvedena symetrická derivace F(X) = |X| má obraz {−1, 0, 1}, ale secants pro F může mít širší škálu svahů; například na interval [−1, 2], věta o střední hodnotě by vyžadovala, aby existoval bod, kde (symetrická) derivace nabývá hodnoty .[6]
Věta poněkud analogická k Rolleova věta ale pro symetrickou derivaci založil v roce 1967 C.E.Aull, který ji pojmenoval Quasi-Rolleova věta. Li F je kontinuální na uzavřený interval [A, b] a symetricky diferencovatelné na otevřený interval (A, b) a F(A) = F(b) = 0, pak existují dva body X, y v (A, b) takové, že Fs(X) ≥ 0 a Fs(y) ≤ 0. Lemma, které Aull také vytvořil jako odrazový můstek k této větě, uvádí, že pokud F je spojitý v uzavřeném intervalu [A, b] a symetricky diferencovatelné na otevřeném intervalu (A, b) a navíc F(b) > F(A) pak existuje bod z v (A, b) kde je symetrická derivace nezáporná nebo s výše uvedeným zápisem, Fs(z) ≥ 0. Analogicky, pokud F(b) < F(A), pak existuje bod z v (A, b) kde Fs(z) ≤ 0.[6]
The věta o kvazi-střední hodnotě pro symetricky diferencovatelnou funkci se uvádí, že pokud F je spojitý v uzavřeném intervalu [A, b] a symetricky diferencovatelné na otevřeném intervalu (A, b), pak existují X, y v (A, b) takové, že
Jako aplikace je kvazi-střední hodnota věta pro F(X) = |X| v intervalu obsahujícím 0 předpovídá, že sklon libovolného sekán z F je mezi −1 a 1.
Pokud je symetrická derivace F má Vlastnictví Darboux, pak platí (forma) věty o běžné střední hodnotě (Lagrangeovy), tj. existuje z v (A, b) takové, že
- .[6]
V důsledku toho, pokud je funkce kontinuální a jeho symetrická derivace je také spojitá (má tedy vlastnost Darboux), pak je funkce v obvyklém smyslu diferencovatelná.[6]
Zobecnění
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2015) |
Pojem se zobecňuje na symetrické derivace vyššího řádu a také na n-dimenzionální Euklidovské prostory.
Druhá symetrická derivace
Druhá symetrická derivace je definována jako
Pokud (obvykle) druhá derivace existuje, pak existuje druhá symetrická derivace a rovná se jí.[8] Druhá symetrická derivace může existovat, i když (běžná) druhá derivace není. Jako příklad zvažte znaková funkce který je definován
Funkce znaménka není spojitá na nule, a proto je druhá derivace pro neexistuje. Ale druhá symetrická derivace existuje pro :
Viz také
- Centrální diferenciační schéma
- Bod hustoty
- Zobecněný derivát
- Zevšeobecnění derivátu
- Symetricky spojitá funkce
Poznámky
- ^ A b Peter R. Mercer (2014). Více kalkulů jedné proměnné. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
- ^ A b Thomson, str. 1
- ^ A b Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Kalkul s aplikacemi. Springer. p. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.
- ^ Shirley O. Hockett; David Bock (2005). Jak se Barron připravuje na AP počet. Barronova vzdělávací série. str.53. ISBN 978-0-7641-2382-5.
- ^ Thomson, str. 6
- ^ A b C d E Sahoo, Prasanna; Riedel, Thomas (1998). Věty o střední hodnotě a funkční rovnice. World Scientific. 188–192. ISBN 978-981-02-3544-4.
- ^ Thomson, str. 7
- ^ A b A. Zygmund (2002). Trigonometrická řada. Cambridge University Press. s. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
Reference
- Thomson, Brian S. (1994). Symetrické vlastnosti reálných funkcí. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
- A.B. Kharazishvili (2005). Zvláštní funkce v reálné analýze, druhé vydání. CRC Press. p. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
- Aull, C.E .: „První symetrická derivace“. Dopoledne. Matematika. Pondělí 74, 708–711 (1967)