Centrální diferenciační schéma - Central differencing scheme

Obrázek 1. Porovnání různých schémat

v aplikovaná matematika, centrální diferenciační schéma je metoda konečné diference který optimalizuje aproximaci pro diferenciální operátor v centrálním uzlu uvažovaného pole a poskytuje numerické řešení diferenciálních rovnic.^[1] Je to jedno ze schémat používaných k řešení integrovaného konvekce – difúzní rovnice a vypočítat přepravovaný majetek Φ na plochách e a w, kde E a w jsou zkratka pro východní a Západ (směry kompasu se obvykle používají k označení směrů na výpočetních mřížkách). Výhodou metody je, že je snadno pochopitelná a implementovatelná, alespoň pro jednoduché materiální vztahy; a že jeho konvergenční rychlost je rychlejší než u některých jiných metod konečného diferenciace, jako je například dopředné a zpětné diferenciace. Pravou stranu rovnice konvekce a difúze, která v zásadě zdůrazňuje difúzní podmínky, lze znázornit pomocí centrální diferenční aproximace. Pro zjednodušení řešení a analýzy lze logickou interpolací použít k výpočtu hodnot tváře buněk pro levou stranu této rovnice, což není nic jiného než konvektivní výrazy. Hodnoty vlastnosti buňky pro jednotnou mřížku lze tedy zapsat jako:^[2]

${ displaystyle Phi _ {e} = ( Phi _ {P} + Phi _ {E}) / 2}$

${ displaystyle Phi _ {w} = ( Phi _ {W} + Phi _ {P}) / 2}$

Rovnovážná konvekční difúzní rovnice

The konvekce – difúzní rovnice je kolektivní reprezentace difúzních a konvekčních rovnic a popisuje nebo vysvětluje každý fyzikální jev zahrnující konvekci a difúzi v přenosu částic, energie a dalších fyzikálních veličin uvnitř fyzického systému:^[3]

${ displaystyle operatorname {div} ( rho u varphi) = operatorname {div} ( Gamma nabla varphi) + S _ { varphi}; ,}$

... kde Г je koeficient difúze a Φ je vlastnictví.

Formulace konvekční difúzní rovnice v ustáleném stavu

Formální integrace rovnice konvekce – difúze v ustáleném stavu nad a ovládání hlasitosti dává

${ displaystyle int limity _ {A} , n cdot ( rho u varphi) , dA = int limity _ {A} , n cdot ( Gamma nabla varphi) , dA + int limity _ {CV} , S _ { varphi} , dV}$ → Rovnice 1.

Tato rovnice představuje rovnováhu toku v kontrolním objemu. Levá strana udává čistý konvekční tok a pravá strana obsahuje čistý difúzní tok a generování nebo zničení vlastnosti v rámci řídicího objemu.

Při absenci rovnice zdrojového termínu se člověk stává

${ displaystyle {d over dx} ( rho u varphi) = {d over dx} left ({d varphi over dx} right)}$ → Rovnice 2.

Rovnice spojitosti:

${ displaystyle {d over dx} ( rho u) = 0}$ → Rovnice 3.

Obrázek 2. Interpolační metoda

Předpokládáme-li kontrolní objem a integraci rovnice 2 nad kontrolní objem, získáme:

${ Displaystyle ( rho u varphi A) _ {e} - ( rho u varphi A) _ {w} = ( Gamma Ad varphi / dx) _ {e} - ( Gamma Ad varphi / dx) _ {w}}$ → Integrovaná rovnice konvekce a difúze

Integrace výnosu z rovnice 3:

${ displaystyle ( rho uA) _ {e} - ( rho uA) _ {w} = 0}$ → Integrovaná rovnice kontinuity

Je vhodné definovat dvě proměnné, které představují konvektivní hmotnostní tok na jednotku plochy a difúzní vodivost na čelách buněk, například:

${ displaystyle F = rho u}$

${ displaystyle D = Gamma / delta x}$

Za předpokladu ${ displaystyle A_ {e} = A_ {w}}$ , můžeme napsat integrovanou konvekčně-difúzní rovnici jako:

${ displaystyle F_ {e} varphi _ {e} -F_ {w} varphi _ {w} = D_ {e} ( varphi _ {E} - varphi _ {P}) - D_ {w} ( varphi _ {P} - varphi _ {W})}$

A integrovaná rovnice kontinuity jako:

${ displaystyle F_ {e} -F_ {w} = 0}$

V centrálním diferenčním schématu zkoušíme lineární interpolaci k výpočtu hodnot tváře buněk pro konvekční termíny.

Pro jednotnou mřížku můžeme napsat hodnoty tváře buňky vlastnosti Φ jako

${ displaystyle varphi _ {e} = ( varphi _ {E} + varphi _ {P}) / 2, quad varphi _ {w} = ( varphi _ {P} + varphi _ {W }) / 2}$

Když to dosadíme do integrované rovnice konvekce a difuze, získáme:

${ displaystyle F_ {e} { frac { varphi _ {E} + varphi _ {P}} {2}} - F_ {w} { frac { varphi _ {W} + varphi _ {P }} {2}} = D_ {e} ( varphi _ {E} - varphi _ {P}) - D_ {w} ( varphi _ {P} - varphi _ {W})}$

A při přeskupení:

${ displaystyle left [ left (D_ {w} + { frac {F_ {w}} {2}} right) + left (D_ {e} - { frac {F_ {e}} {2 }} right) + (F_ {e} -F_ {w}) right] varphi _ {P} = left (D_ {w} + { frac {F_ {w}} {2}} right ) varphi _ {W} + vlevo (D_ {e} - { frac {F_ {e}} {2}} vpravo) varphi _ {E}}$

${ displaystyle a_ {P} varphi _ {P} = a_ {W} varphi _ {W} + a_ {E} varphi _ {E}}$

Různé aspekty centrálního diferenciačního schématu

Konzervativnost

Zachování je zajištěno v centrálním diferenčním schématu, protože celková rovnováha toku se získá sečtením čistého toku každým kontrolním objemem, přičemž se zohlední hraniční toky pro kontrolní objemy kolem uzlů 1 a 4.

Obrázek 3. Typická ilustrace

Hraniční tok pro regulační objem kolem uzlu 1 a 4

${ displaystyle { begin {aligned} & left [{ frac { Gamma _ {e_ {1}} ( varphi _ {2} - varphi _ {1})} { delta x}} - q_ {A} right] + left [{ frac { Gamma _ {e_ {2}} ( varphi _ {3} - varphi _ {2})} { delta x}} - { frac { Gamma _ {w_ {2}} ( varphi _ {2} - varphi _ {1})} { delta x}} right] [10pt] + {} & left [{ frac { Gamma _ {e_ {3}} ( varphi _ {4} - varphi _ {3})} { delta x}} - { frac { Gamma _ {w_ {3}} ( varphi _ { 3} - varphi _ {2})} { delta x}} right] + left [q_ {B} - { frac { Gamma _ {w_ {4}} ( varphi _ {4} - varphi _ {3})} { delta x}} right] = q_ {B} -q_ {A} end {zarovnáno}}}$

protože ${ displaystyle Gamma _ {e_ {1}} = Gamma _ {w_ {2}}, Gamma _ {e_ {2}} = Gamma _ {w_ {3}}, Gamma _ {e_ {3 }} = Gamma _ {w_ {4}}}$

Ohraničenost

Centrální systém diferenciace splňuje první podmínku omezenost.

Od té doby ${ displaystyle F_ {e} -F_ {w} = 0}$ z rovnice kontinuity tedy; ${ displaystyle a_ {P} varphi _ {P} = a_ {W} varphi _ {W} + a_ {E} varphi _ {E}}$

Dalším základním požadavkem na omezenost je, že všechny koeficienty diskretizovaných rovnic by měly mít stejné znaménko (obvykle všechny kladné). To je ale uspokojeno pouze tehdy, když (číslo pecleta ) ${ displaystyle F_ {e} / D_ {e} <2}$ protože pro jednosměrný tok (${ displaystyle F_ {e}> 0, F_ {w}> 0}$) ${ displaystyle a_ {E} = (D_ {e} -F_ {e} / 2)}$ je vždy pozitivní, pokud ${ displaystyle D_ {e}> F_ {e} / 2}$

Přepravnost

Vyžaduje, aby se transportivita změnila podle velikosti počtu pecletů, tj. Když pe je nula ${ displaystyle varphi}$ se šíří všemi směry rovnoměrně a s rostoucí Pe (konvekce> difúze) ${ displaystyle varphi}$ v určitém okamžiku do značné míry závisí na hodnotě na horním toku a méně na hodnotě na horním toku. Ale centrální diferenciační schéma nemá transportní schopnost na vyšších pe, protože Φ v bodě je průměr sousedních uzlů pro všechny Pe.

Přesnost

The Taylor série chyba zkrácení centrálního diferenciačního schématu je druhého řádu. Centrální diferenciační schéma bude přesné, pouze pokud Pe <2. Kvůli tomuto omezení není centrální diferenciace vhodnou diskretizační praxí pro výpočty toku pro obecné účely.

Aplikace centrálních diferenciačních schémat

• V současné době se pravidelně používají při řešení Eulerovy rovnice a Navier-Stokesovy rovnice.
• Výsledky využívající centrální diferenciační aproximaci ukázaly znatelné zlepšení přesnosti v hladkých oblastech.
• Rázová vlna zastoupení a mezní vrstva definice může být vylepšena na hrubých sítích.^[4]

Výhody

• Jednodušší programování, vyžaduje méně času na počítač na krok a dobře funguje s multigridem akcelerace techniky
• Má volný parametr ve spojení se ztrátou čtvrtého rozdílu, který je potřebný k dosažení ustáleného stavu.
• Přesnější než schéma proti větru prvního řádu, pokud je číslo Peclet menší než 2.^[5]

Nevýhody

• O něco disipativnější

• Vede k oscilace v řešení nebo divergenci, pokud je místní číslo Peclet větší než 2.^[6]

Viz také

• Metoda konečných rozdílů
• Konečný rozdíl
• Taylor série
• Taylorova věta
• Konvekčně-difúzní rovnice
• Difúze
• Proudění
• Peclet číslo
• Lineární interpolace
• Symetrická derivace
• Diferenční schéma proti větru pro proudění

Reference

Další čtení

• Výpočetní dynamika tekutin: Základy aplikací - John D. Anderson, ISBN  0-07-001685-2
• Výpočetní dynamika tekutin svazek 1 - Klaus A. Hoffmann, Steve T. Chiang, ISBN  0-9623731-0-9

externí odkazy

• One-Dimensional_Steady-State_Convection_and_Diffusion # Central_Difference_Scheme
• Konečné rozdíly
• Metody centrálního rozdílu
• Konzervativní schéma konečných rozdílů pro Poisson – Nernst – Planckovy rovnice