Heteroklinická dráha - Heteroclinic orbit

The fázový portrét z kyvadlo rovnice X'' + hříchX = 0. Zvýrazněná křivka ukazuje heteroclinic orbit from (X, X') = (−π, 0) až (X, X') = (π, 0). Tato oběžná dráha odpovídá (tuhému) kyvadlu, které začíná vzpřímeně, dělá jednu otáčku svou nejnižší polohou a končí opět vzpřímeně.

v matematika, v fázový portrét a dynamický systém, a heteroclinic orbit (někdy nazývané a heteroclinic připojení ) je cesta ve fázovém prostoru, která spojuje dvě různé rovnovážné body. Pokud jsou rovnovážné body na začátku a na konci oběžné dráhy stejné, je oběžná dráha a homoklinická dráha.

Zvažte spojitý dynamický systém popsaný v ÓDA

${displaystyle {dot {x}} = f (x)}$

Předpokládejme, že existují rovnováhy v ${displaystyle x = x_ {0}}$ a ${displaystyle x = x_ {1}}$, pak řešení ${displaystyle phi (t)}$ je heteroclinic orbit from ${displaystyle x_ {0}}$ na ${displaystyle x_ {1}}$ -li

${displaystyle phi (t) ightarrow x_ {0} quad mathrm {as} quad tightarrow -infty}$

a

${displaystyle phi (t) ightarrow x_ {1} quad mathrm {as} quad tightarrow + infty}$

To znamená, že oběžná dráha je obsažena v stabilní potrubí z ${displaystyle x_ {1}}$ a nestabilní potrubí z ${displaystyle x_ {0}}$.

Symbolická dynamika

Pomocí Markovova přepážka, dlouhodobé chování hyperbolický systém lze studovat pomocí technik symbolická dynamika. V tomto případě má heteroclinická dráha obzvláště jednoduché a jasné znázornění. Předpokládejme to ${displaystyle S = {1,2, ldots, M}}$ je konečná množina z M symboly. Dynamika bodu X je pak reprezentován a bi-nekonečný řetězec symbolů

${displaystyle sigma = {(ldots, s _ {- 1}, s_ {0}, s_ {1}, ldots): s_ {k} v S; pro všechny příbuzné mathbb {Z}}}$

A periodický bod systému je jednoduše opakující se posloupnost písmen. Heteroklinická dráha je potom spojením dvou odlišných periodických drah. Může být napsán jako

${displaystyle p ^ {omega} s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n} q ^ {omega}}$

kde ${displaystyle p = t_ {1} t_ {2} cdots t_ {k}}$ je posloupnost symbolů délky k, (samozřejmě, ${displaystyle t_ {i} v S}$), a ${displaystyle q = r_ {1} r_ {2} cdots r_ {m}}$ je další posloupnost symbolů délky m (rovněž, ${displaystyle r_ {i} v S}$). Zápis ${displaystyle p ^ {omega}}$ jednoduše označuje opakování p nekonečný počet opakování. Heteroklinickou dráhu lze tedy chápat jako přechod z jedné periodické dráhy na druhou. Naproti tomu a homoklinická dráha lze psát jako

${displaystyle p ^ {omega} s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n} p ^ {omega}}$

s mezilehlou sekvencí ${displaystyle s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n}}$ být neprázdný a samozřejmě nebýt p, jinak by oběžná dráha prostě byla ${displaystyle p ^ {omega}}$.

Viz také

• Heteroklinické spojení
• Heteroklinický cyklus
• Heteroklinická bifurkace
• Homoklinická dráha

Reference

• John Guckenheimer a Philip Holmes, Nelineární oscilace, dynamické systémy a rozdvojení vektorových polí, (Applied Mathematical Sciences Vol. 42), Springer