Síto (teorie kategorií) - Sieve (category theory)

v teorie kategorií, pobočka matematika, a síto je způsob výběru šipky se společným codomain. Je to kategorický analog kolekce otevřených podmnožiny pevné otevřená sada v topologie. V Grothendieckova topologie, určitá síta se stávají kategorickými analogy otevřené kryty v topologie. Síta byla zavedena Giraud (1964) za účelem přeformulování pojmu Grothendieckovy topologie.

Definice

Nechat C být kategorie a nechte C být předmětem C. A síto ${ displaystyle S colon C ^ { rm {op}} do { rm {Set}}}$ na C je subfunktor Hom (-, C), tj. pro všechny objekty C′ Z C, S(C′) ⊆ Hom (C′, C) a pro všechny šipky F:C″→C′, S(F) je omezení Hom (F, C), zarazit podle F (ve smyslu prekompozice, nikoli z vláknitých výrobků), S(C′); viz další část níže.

Jinými slovy, síto je sbírka S šípů se společnou doménou, která splňuje podmínku: „Pokud G:C′→C je šipka dovnitř S, a pokud F:C″→C′ Je jakákoli jiná šipka C, pak gf je v S. “Síta jsou tedy podobná pravému ideály v teorie prstenů nebo filtry v teorie objednávek.

Stahování sít

Nejběžnější operace na sítu je zarazit. Stahování síta S na C šipkou F:C′→C dává nové síto F^*S na C'. Toto nové síto se skládá ze všech šipek S tento faktor C′.

Existuje několik ekvivalentních způsobů definování F^*S. Nejjednodušší je:

Pro jakýkoli objekt d z C, F^*S(d) = { G:d→C′ | fg ∈ S(d)}

Abstraktnější formulace je:

F^*S je obraz vláknitý výrobek S×_{Hom (-, C)}Hom (-, C′) Pod přirozenou projekcí S×_{Hom (-, C)}Hom (-, C′) → Hom (-, C′).

Zde je mapa Hom (-, C′) → Hom (-, C) je Hom (F, C′), Návrat zpět F.

Druhá formulace naznačuje, že si můžeme také představit S×_{Hom (-, C)}Hom (-, C′) Pod přirozenou mapou na Hom (-, C). Toto bude obraz F^*S ve složení s F. Pro každý objekt d z C, toto síto se bude skládat ze všech šípů fg, kde G:d→C′ Je šipka F^*S(d). Jinými slovy, skládá se ze všech šipek v S to lze promítnout do F.

Pokud označíme by_C prázdné síto C, tj. síto, pro které ∅ (d) je vždy prázdná množina, pak pro libovolnou F:C′→C, F^*∅_C je ∅_C′. Dále F^*Hom (-, C) = Hom (-, C′).

Vlastnosti sít

Nechat S a SBudou dvě síta C. Říkáme to S ⊆ S′ Pokud pro všechny objekty C′ Z C, S(C′) ⊆ S′(C′). Pro všechny objekty d z C, definujeme (S ∪ S′)(d) být S(d) ∪ S′(d) a (S ∩ S′)(d) být S(d) ∩ S′(d). Tuto definici můžeme jasně rozšířit i na nekonečné odbory a křižovatky.

Pokud definujeme síto_C(C) (nebo síto (C) zkráceně) být souborem všech sít C, pak síto (C) bude částečně objednáno pod ⊆. Z definice je snadno patrné, že na svazku nebo průsečíku jakékoli rodiny sít C je síto C, takže Sieve (C) je úplná mříž.

A Grothendieckova topologie je soubor sít podléhajících určitým vlastnostem. Tato síta se nazývají krycí síta. Sada všech krycích sít na předmětu C je podmnožina J(C) ze síta (C). J(C) splňuje několik dalších vlastností kromě těch, které vyžaduje definice:

• Li S a SJsou síta C, S ⊆ S', a S ∈ J(C), pak S′ ∈ J(C).
• Konečné průniky prvků J(C) jsou v J(C).

Tudíž, J(C) je také a distribuční mříž, a to je konečný v sítu (C).

Reference

• Artin, Michael; Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 1. Přednášky z matematiky (francouzsky). 269. Berlín; New York: Springer-Verlag. xix + 525. doi:10.1007 / BFb0081551. ISBN  978-3-540-05896-0.
• Giraud, Jean (1964), „Analysis situs“, Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3, Paříž: Secrétariat mathématique, PAN  0193122
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.