Superadditivita - Superadditivity

v matematika, a sekvence {A_n}, n ≥ 1, je volána superaditivum pokud vyhovuje nerovnost

${ displaystyle a_ {n + m} geq a_ {n} + a_ {m}}$

pro všechny m a n. Hlavním důvodem pro použití superaditivních sekvencí je následující lemma kvůli Michael Fekete.^[1]

Lemma: (Fekete) Pro každou superaditivní posloupnost {A_n}, n ≥ 1, omezit lim A_n /n existuje a rovná se sup A_n /n. (Limit může být kladné nekonečno, například pro sekvenci A_n = logn!.)

Podobně, a funkce F je superaditivum -li

${ Displaystyle f (x + y) geq f (x) + f (y)}$

pro všechny X a y v doména z F.

Například, ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ je superaditivní funkce pro nezáporné reálná čísla protože náměstí z ${ displaystyle x + y}$ je vždy větší nebo rovno druhé mocnině ${ displaystyle x}$ plus čtverec ${ displaystyle y}$, pro nezáporná reálná čísla ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$.

Analog Feketeho lematu platí subadditivní existují také rozšíření Feketeho lematu, která nevyžadují výše uvedenou definici superadditivity, aby platila pro všechny m a n. Existují také výsledky, které umožňují odvodit míru konvergence na hranici, jejíž existence je uvedena ve Feketeho lematu, pokud existuje nějaká superadditivita i subadditivita. Dobrou expozici tohoto tématu lze najít v Steele (1997).^[2][3]

Termín „superaditiv“ se také aplikuje na funkce z a booleovská algebra na reálná čísla kde ${ Displaystyle P (X lor Y) geq P (X) + P (Y)}$, jako nižší pravděpodobnosti.

Li F je superaditivní funkce, a pokud je 0 ve své doméně, pak F(0) ≤ 0. Chcete-li to vidět, vezměte nerovnost nahoře: ${ Displaystyle f (x) leq f (x + y) -f (y)}$. Proto ${ Displaystyle f (0) leq f (0 + y) -f (y) = 0.}$

Zápor superaditivní funkce je subadditivní.

Příklady superaditivních funkcí

• The určující je superaditivní pro nezáporné Hermitova matice, tj. pokud ${ displaystyle A, B v { text {Mat}} _ {n} ( mathbb {C})}$ jsou tedy nezáporné Hermitany ${ displaystyle det (A + B) geq det (A) + det (B)}$.

To vyplývá z Minkowského determinantní věty, která to obecněji uvádí ${ displaystyle det ( cdot) ^ {1 / n}}$ je superaditivní (ekvivalentně, konkávní )^[4] pro nezáporné hermitovské matice velikosti n: Pokud ${ displaystyle A, B v { text {Mat}} _ {n} ( mathbb {C})}$ jsou tedy nezáporné Hermitany ${ displaystyle det (A + B) ^ {1 / n} geq det (A) ^ {1 / n} + det (B) ^ {1 / n}}$.

• Vzájemné informace
• Horst Alzer dokázal ^[5] že Hadamardova gama funkce H(X) je superaditivní pro všechna reálná čísla X, y s X, y ≥ 1.5031.

Viz také

• Choquet integrální
• Subadditivita

Reference

Poznámky

• György Polya a Gábor Szegö. (1976). Problémy a věty v analýze, svazek 1. Springer-Verlag, New York. ISBN  0-387-05672-6.

Tento článek včlení materiál od Superadditivity na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.