Rose (topologie) - Rose (topology)

Růže se čtyřmi okvětními lístky.

v matematika, a růže (také známý jako kytice z n kruhy) je topologický prostor získané lepení společně sbírku kruhy podél jednoho bodu. Kruhy růže se nazývají okvětní lístky. Růže jsou důležité v algebraická topologie, kde úzce souvisí skupiny zdarma.

Definice

The základní skupina osmičky je volná skupina generováno uživatelem A a b

Růže je klínový součet z kruhy. To znamená, že růže je kvocientový prostor C/S, kde C je disjunktní unie kruhů a S množina skládající se z jednoho bodu z každé kružnice. Jako buněčný komplex, růže má jeden vrchol a jednu hranu pro každý kruh. To z něj dělá jednoduchý příklad a topologický graf.

Růže s n okvětní lístky lze také získat identifikací n bodů na jednom kruhu. Růže se dvěma lístky je známá jako číslo osm.

Vztah k volným skupinám

The univerzální kryt osmičky lze vizualizovat Cayleyovým grafem volná skupina na dvou generátorech A a b

The základní skupina růže je volný, uvolnit, s jedním generátor pro každý okvětní lístek. The univerzální kryt je nekonečný strom, který lze identifikovat pomocí Cayleyův graf volné skupiny. (Toto je speciální případ prezentační komplex spojené s jakýmkoli prezentace skupiny.)

Meziprodukt kryty růže odpovídají podskupiny volné skupiny. Pozorování, že jakýkoli kryt růže je a graf poskytuje jednoduchý důkaz, že každá podskupina volné skupiny je zdarma ( Nielsen – Schreierova věta )

Protože univerzální kryt růže je smluvní, růže je ve skutečnosti Eilenberg – MacLaneův prostor pro přidruženou bezplatnou skupinu F. To znamená, že kohomologie skupiny Hn(F) jsou triviální pro n ≥ 2.

Další vlastnosti

Osmička v torus.
  • Žádný připojený graf je ekvivalent homotopy k růži. Konkrétně růže je kvocientový prostor grafu získaného sbalením a kostra.
  • A disk s n odstraněné body (nebo a koule s n + 1 odstraněný bod) deformace se stáhne na růži s n okvětní lístky. Jeden okvětní lístek růže obklopuje každý z odstraněných bodů.
  • A torus s odstraněným jedním bodem se deformace zasune na osmičku, konkrétně spojení dvou generujících kruhů. Obecněji řečeno, povrch rod G s odstraněným jedním bodem se deformace stáhne na růži s 2G okvětní lístky, jmenovitě hranice a základní polygon.
  • Růže může mít nekonečně mnoho lístků, což vede k základní skupině, která je zdarma na nekonečně mnoha generátorech. Růže s nespočetně nekonečně mnoha okvětními lístky je podobná Havajská náušnice: z této růže je plynulá bijekce na havajskou náušnici, ale ty dvě nejsou homeomorfní. Růže s nekonečně mnoha okvětními lístky není kompaktní, zatímco havajská náušnice je kompaktní.

Viz také

Reference

  • Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0
  • Munkres, James R. (2000), TopologieEnglewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc, ISBN  0-13-181629-2
  • Stillwell, John (1993), Klasická topologie a kombinatorická teorie grup, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  0-387-97970-0