Nielsen – Schreierova věta - Nielsen–Schreier theorem

v teorie skupin, obor matematiky, Nielsen – Schreierova věta uvádí, že každý podskupina a volná skupina je zdarma.^[1][2][3] Je pojmenován po Jakob Nielsen a Otto Schreier.

Výrok věty

Volná skupina může být definována z a skupinová prezentace skládající se z a sada generátorů bez vztahů. To znamená, že každý prvek je produktem určité posloupnosti generátorů a jejich inverzí, ale tyto prvky neposlouchají žádné rovnice kromě těch, které triviálně vyplývají z např⁻¹ = 1. Prvky volné skupiny lze popsat jako možné omezená slova, ty struny generátorů a jejich inverzí, ve kterých žádný generátor nesousedí s jeho vlastní inverzí. Dvě redukovaná slova mohou být vynásobena zřetězení a poté odstraňte všechny páry generátor-inverze, které jsou výsledkem zřetězení.

The Nielsen – Schreierova věta uvádí, že pokud H je podskupina volné skupiny G, pak H je sám sebou izomorfní do volné skupiny. To znamená, že existuje sada S prvků, které generují H, bez netriviálních vztahů mezi prvky S.

The Nielsen – Schreierův vzorecnebo Schreierův vzorec indexu, kvantifikuje výsledek v případě, že podskupina má konečný index: pokud G je bezplatná skupina hodností n (zdarma na n generátory) a H je podskupina konečných index [G : H] = E, pak H je bez hodnosti ${displaystyle 1 + e (n {-} 1)}$.^[4]

Příklad

Nechat G být volnou skupinou se dvěma generátory ${displaystyle a, b}$a nechte H být podskupinou sestávající ze všech redukovaných slov sudé délky (produkty sudého počtu písmen ${displaystyle a, b, a ^ {- 1}, b ^ {- 1}}$). Pak H je generováno jeho šesti prvky ${displaystyle p = aa, q = ab, r = ba, s = bb, t = ab ^ {- 1}, u = a ^ {- 1} b.}$ Faktorizace jakéhokoli redukovaného slova v H do těchto generátorů a jejich inverzí lze zkonstruovat jednoduše tak, že po sobě jdoucí dvojice písmen v redukovaném slově. Nejedná se však o bezplatnou prezentaci H protože poslední tři generátory lze zapsat z hlediska prvních tří jako ${displaystyle s = rp ^ {- 1} q, t = pr ^ {- 1}, u = p ^ {- 1} q}$. Spíše, H je generován jako volná skupina třemi prvky ${displaystyle p = aa, q = ab, r = ba,}$které mezi sebou nemají žádné vztahy; nebo místo toho několik dalších trojic šesti generátorů.^[5] Dále, G je zdarma na n = 2 generátory, H má index E = [G : H] = 2 palce G, a H je zdarma na 1 + E(n–1) = 3 generátory. Nielsen-Schreierova věta říká, že se to líbí H, každou podskupinu volné skupiny lze vygenerovat jako volnou skupinu, a pokud je index H je konečný, jeho pořadí je dáno indexovým vzorcem.

Důkaz

Svobodná skupina G = π₁(X) má n = 2 generátory odpovídající smyčkám A,b od základního bodu P v X. Podskupina H slov sudé délky s indexem E = [G : H] = 2, odpovídá krycímu grafu Y se dvěma vrcholy odpovídajícími kosetům H a H ' = aH = bH = A⁻¹H = b⁻¹Ha dva zvednuté okraje pro každý z původních okrajů smyčky A,b. Smazání jednoho z okrajů Y dává homotopickou ekvivalenci kytici tří kruhů, takže H = π₁(Y) je volná skupina například na třech generátorech aa, ab, ba.

Krátký důkaz Nielsen-Schreierovy věty používá algebraická topologie z základní skupiny a pokrývající prostory.^[1] Skupina zdarma G na sadě generátorů je základní skupina a kytice kruhů, a topologický graf X s jediným vrcholem a hranou smyčky pro každý generátor.^[6] Libovolná podskupina H základní skupiny je sama základní skupinou propojeného krycího prostoru Y → X. Prostor Y je (možná nekonečný) topologický graf, Schreierův cosetový graf mít pro každý jeden vrchol coset v G / H.^[7] V libovolném připojeném topologickém grafu je možné zmenšit okraje a kostra grafu, vytvářející kytici kruhů, která má stejná základní skupina H. Od té doby H je základní skupina kytice kruhů, je sama o sobě zdarma.^[6]

Zjednodušená homologie umožňuje výpočet hodnosti H, což se rovná h₁(Y), první Betti číslo krycího prostoru, počet nezávislých cyklů. Pro G bez hodnosti n, graf X má n hrany a 1 vrchol; za předpokladu H má konečný index [G : H] = E, krycí graf Y má en hrany a E vrcholy. První číslo Betti grafu se rovná počtu hran, minus počet vrcholů plus počet připojených komponent; odtud hodnost H je:

${displaystyle h_ {1} (Y), =, en-e + 1, =, 1 + e (n {-} 1).}$

Tento důkaz je způsoben Reinhold Baer a Friedrich Levi  (1936 ); původní důkaz od Schreiera tvoří Schreierův graf jiným způsobem jako kvocient z Cayleyův graf z G modulo akce H.^[8]

Podle Schreierovo podskupinové lemma, sada generátorů pro bezplatnou prezentaci H mohou být vyrobeny z cykly v krycím grafu vytvořeném zřetězením cesty kostry stromu od základního bodu (coset identity) k jednomu z kosetů, jedné hraně bez stromu a inverzní cestě kostry stromu z druhého koncového bodu hrany zpět k základní bod.^[9][8]

Axiomatické základy

Ačkoli je známo několik různých důkazů Nielsen-Schreierovy věty, všechny závisí na axiom volby. Například v důkazu založeném na základních skupinách kytic se axiom výběru objevuje v masce tvrzení, že každý připojený graf má spanning tree. Použití tohoto axiomu je nezbytné, protože existují modely Teorie množin Zermelo – Fraenkel ve kterém jsou axiom výběru a Nielsen-Schreierova věta nepravdivé. Nielsen – Schreierova věta zase implikuje slabší verzi zvoleného axiomu pro konečné množiny.^[10][11]

Dějiny

Nielsen – Schreierova věta je a neabelský analogie staršího výsledku Richard Dedekind, že každá podskupina a bezplatná abelianská skupina je zdarma abelian.^[3]

Jakob Nielsen (1921 ) původně prokázal omezenou formu věty s tím, že každá konečně generovaná podskupina volné skupiny je zdarma. Jeho důkaz zahrnuje provedení sekvence Nielsenovy transformace na generující množině podskupiny, která zmenšuje jejich délku (jako zmenšená slova ve volné skupině, ze které jsou čerpána).^[1][12] Otto Schreier v roce 1926 prokázal Nielsen-Schreierovu větu v její plné obecnosti habilitace teze, Die Untergruppen der freien Gruppe, také publikováno v roce 1927 v Abh. matematika. Sem. Hamburg. Univ.^[13][14]

Topologický důkaz založený na základních skupinách kytic kruhů je způsoben Reinhold Baer a Friedrich Levi  (1936 ). Další topologický důkaz založený na Teorie Bass – Serre z skupinové akce na stromy, byl publikován Jean-Pierre Serre  (1970 ).^[15]

Viz také

• Základní věta o cyklických skupinách, podobný výsledek pro cyklické skupiny že v nekonečném případě lze pohlížet jako na speciální případ Nielsen – Schreierovy věty

Poznámky

Reference

• Baer, ​​Reinhold; Levi, Friedrich (1936), „Freie Produkte und ihre Untergruppen“, Compositio Mathematica, 3: 391–398.
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Polní aritmetika, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11 (3. vyd.), Springer-Verlag, str. 70, ISBN  978-3-540-77269-9, Zbl  1145.12001.
• Howard, Paul E. (1985), „Podskupiny volné skupiny a axiom výběru“, The Journal of Symbolic Logic, 50 (2): 458–467, doi:10.2307/2274234, JSTOR  2274234, PAN  0793126.
• Johnson, D. L. (1980), Témata v teorii skupinových prezentacíSérie přednášek London Mathematical Society, 42, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-23108-4.
• Johnson, D. L. (1997), Prezentace skupin, Studentské texty London Mathematical Society, 15 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-58542-2.
• Läuchli, Hans (1962), „Auswahlaxiom in der Algebra“, Commentarii Mathematici Helvetici, 37: 1–18, doi:10.1007 / bf02566957, hdl:20.500.11850/131689, PAN  0143705.
• Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (1976), Kombinatorická teorie skupin (2. přepracované vydání), Dover Publications.
• Nielsen, Jakob (1921), „Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien“, Matematika. Tidsskrift B (v dánštině), 1921: 78–94, JFM  48.0123.03.
• Rotman, Joseph J. (1995), Úvod do teorie skupin, Postgraduální texty z matematiky, 148 (4. vydání), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94285-8.
• Serre, J.-P. (1970), Seskupí diskrétní„Extrait de I'Annuaire du College de France, Paříž.
• Serre, J.-P. (1980), Stromy, Springer-Verlag, ISBN  3-540-10103-9.
• Stillwell, Johne (1993), Klasická topologie a kombinatorická teorie skupin, Postgraduální texty z matematiky, 72 (2. vyd.), Springer-Verlag.