Harish-Chandra izomorfismus - Harish-Chandra isomorphism
v matematika, Harish-Chandra izomorfismus, představil Harish-Chandra (1951 ),je izomorfismus komutativních prstenů konstruovaných v teorii Lež algebry. Izomorfismus mapuje centrum Z(U(G)) z univerzální obalová algebra U(G) a reduktivní Lieova algebra G k živlům S(h)Ž z symetrická algebra S(h) a Cartan subalgebra h které jsou neměnné pod Weylova skupina Ž.
Základní invarianty
Nechat n být hodnost z G, což je rozměr Cartanovy subalgebry h. H. S. M. Coxeter pozoroval to S(h)Ž je polynomiální algebra v n proměnné (viz Chevalley – Shephard – Toddova věta pro obecnější prohlášení). Proto je středem univerzální obklopující algebry reduktivní Lieovy algebry polynomiální algebra. Stupně generátorů jsou stupně základních invariantů uvedených v následující tabulce.
Lež algebra | Číslo coxeteru h | Duální coxeter číslo | Stupně základních invariantů |
---|---|---|---|
R | 0 | 0 | 1 |
An | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4, ..., n + 1 |
Bn | 2n | 2n − 1 | 2, 4, 6, ..., 2n |
Cn | 2n | n + 1 | 2, 4, 6, ..., 2n |
Dn | 2n − 2 | 2n − 2 | n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2 |
E6 | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
E7 | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
E8 | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
F4 | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 |
G2 | 6 | 4 | 2, 6 |
Například střed univerzální obklopující algebry G2 je polynomiální algebra na generátorech stupňů 2 a 6.
Příklady
- Li G je Lieova algebra sl(2, R), pak střed univerzální obklopující algebry vygeneruje Kazimír neměnný stupně 2 a Weylova skupina působí na subalgebru Cartan, která je izomorfní Rnegací, takže invariant Weylovy skupiny je jednoduše čtverec generátoru Cartanovy subalgebry, který má rovněž stupeň 2.
Úvod a nastavení
Nechat G být polojednoduchá Lie algebra, h své Cartan subalgebra a λ, μ ∈ h* být dva prvky váhový prostor a předpokládejme, že soubor pozitivní kořeny Φ+ byly opraveny. Nechat PROTIλ, resp. PROTIμ být moduly s nejvyšší hmotností s nejvyšší hmotností λ, resp. μ.
Ústřední postavy
The G- moduly PROTIλ a PROTIμ jsou reprezentace univerzální obalová algebra U(G) a jeho centrum působí na moduly pomocí skalárního násobení (vyplývá to ze skutečnosti, že moduly jsou generovány vektorem nejvyšší váhy). Tak pro proti v PROTIλ a X v Z(U(G)),
a podobně pro PROTIμ.
Funkce jsou homomorfismy k tzv. skalárům ústřední postavy.
Prohlášení Harish-Chandra věty
Pro libovolné λ, μ ∈ h*, postavy právě tehdy, když λ + δ a μ + δ jsou stejné obíhat z Weylova skupina z h*, kde δ je poloviční součet pozitivní kořeny.[1]
Další úzce související formulace je, že Homomorfismus Harish-Chandra od středu města univerzální obalová algebra Z(U(G)) až S(h)Ž (prvky symetrické algebry Cartanovy subalgebry fixované Weylovou skupinou) je izomorfismus.
Aplikace
Věta může být použita k získání jednoduchého algebraického důkazu o Weylův charakterový vzorec pro konečně-dimenzionální reprezentace.
Dále je to nezbytná podmínka pro existenci nenulového homomorfismu některých modulů s nejvyšší hmotností (homomorfismus těchto modulů zachovává centrální charakter). Jednoduchým důsledkem je to pro Verma moduly nebo zobecněné moduly Verma PROTIλ s nejvyšší hmotností λ existuje pouze konečně mnoho hmotností μ takových, že nenulový homomorfismus PROTIλ → PROTIμ existuje.
Viz také
Poznámky
- ^ Humphreys (1972), s. 130
Reference
- Harish-Chandra (1951), „K některým aplikacím univerzální obklopující algebry polojednodušé Lieovy algebry“, Transakce Americké matematické společnosti, 70 (1): 28–96, doi:10.2307/1990524, JSTOR 1990524, PAN 0044515
- Humphreys, Jamesi (1972). Úvod do Lieových algeber a teorie reprezentace. Springer. ISBN 978-0387900537.
- Humphreys, James E. (2008), Reprezentace polojediných Lieových algeber v kategorii BGG O, AMS, str. 26, ISBN 978-0-8218-4678-0
- Knapp, Anthony W .; Vogan, David A. (1995), Kohomologická indukce a unitární reprezentace, Princeton Mathematical Series, 45, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-03756-1, PAN 1330919
- Knapp, Anthony W. (2013) [1996], „V. Konečná dimenzionální reprezentace §5. Harish-Chandra izomorfismus“, Skupiny lži nad rámec úvoduPokrok v matematice, 140, Springer, str. 246–258, ISBN 978-1-4757-2453-0