Metoda systémů s kvantovaným stavem - Quantized state systems method

The metody kvantovaných stavových systémů (QSS) jsou rodina řešení numerické integrace založená na myšlence kvantování stavu, dvojí na tradiční myšlenku diskretizace času. Na rozdíl od tradiční metody numerického řešení, které přistupují k problému pomocí diskretizující čas a řešení pro další (reálný) stav v každém následném časovém kroku, metody QSS udržují čas jako spojitou entitu a místo toho kvantizovat stav systému, místo toho řešení pro čas kdy se stát odchyluje od své kvantované hodnoty o a kvantová.

Ve srovnání s klasickými algoritmy mohou mít také mnoho výhod.^[1]Ve své podstatě umožňují modelování diskontinuit v systému kvůli jejich povaze diskrétních událostí a asynchronní povaze. Umožňují také explicitní hledání kořenů a detekci použití nulového přechodu explicitní algoritmy, které se vyhnou potřebě iterace --- skutečnost, která je obzvláště důležitá v případě tuhých systémů, kde tradiční metody krokování času vyžadují velkou výpočetní pokutu kvůli požadavku implicitně řešit pro další stav systému. Nakonec metody QSS uspokojují pozoruhodné hranice globální stability a chyb popsané níže, které nejsou uspokojeny klasickými technikami řešení.

Metody QSS jsou proto ze své podstaty úhledně modelovány DEVS formalismus, a diskrétní událost model výpočtu, na rozdíl od tradičních metod, které se tvoří diskrétní čas modely nepřetržitý čas Systém. Byly proto implementovány v [PowerDEVS], simulační engine pro takové systémy diskrétních událostí.

Teoretické vlastnosti

V roce 2001 Ernesto Kofman dokázal^[2] pozoruhodná vlastnost metody simulace systému s kvantovaným stavem: totiž, že když se tato technika používá k řešení a stabilní lineární časově invariantní (LTI) systém, globální chyba je omezena konstantou, která je úměrná kvantu, ale (zásadně) nezávislá na době trvání simulace. Přesněji řečeno, pro stabilní multidimenzionální systém LTI s matice přechodu stavu ${ displaystyle A}$ a vstupní matice ${ displaystyle B}$, bylo v [CK06] ukázáno, že vektor absolutní chyby ${ displaystyle { vec {e}} (t)}$ je ohraničen výše

${ displaystyle left | { vec {e}} (t) right | leq left | V right | left | Re left ( Lambda right) ^ {- 1} Lambda pravý | levý | V ^ {- 1} pravý | Delta { vec {Q}} + levý | V pravý | levý | Re levý ( Lambda pravý) ^ {- 1} V ^ {- 1} B vpravo | Delta { vec {u}}}$

kde ${ displaystyle Delta { vec {Q}}}$ je vektor státních kvant, ${ displaystyle Delta { vec {u}}}$ je vektor s kvantami přijatými do vstupních signálů, ${ displaystyle V Lambda V ^ {- 1} = A}$ je vlastní složení nebo Jordan kanonická forma z ${ displaystyle A}$, a ${ displaystyle left | , cdot , vpravo |}$ označuje elementově absolutní hodnota operátor (nezaměňovat s určující nebo norma ).

Stojí za povšimnutí, že tato pozoruhodná chyba má svou cenu: globální chyba stabilního systému LTI je také v jistém smyslu omezená níže samotným kvantem, alespoň pro metodu QSS1 prvního řádu. Je to proto, že pokud se aproximace nestane náhodou přesně se správnou hodnotou (událost, která bude téměř jistě nestane se), bude to prostě pokračovat v kmitání kolem rovnováhy, protože stav je vždy (podle definice) zaručeně změněn přesně o jedno kvantum mimo rovnováhu. Vyhnutí se tomuto stavu by vyžadovalo nalezení spolehlivé techniky pro dynamické snižování kvanta analogickým způsobem adaptivní velikost kroku metody v tradičních diskrétních algoritmech simulace času.

Metoda QSS prvního řádu - QSS1

Nechť problém počáteční hodnoty být specifikován následovně.

${ displaystyle { dot {x}} (t) = f (x (t), t), quad x (t_ {0}) = x_ {0}.}$

Metoda QSS prvního řádu, známá jako QSS1, přibližuje výše uvedený systém o

${ displaystyle { dot {x}} (t) = f (q (t), t), quad q (t_ {0}) = x_ {0}.}$

kde ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle q}$ jsou ve vztahu a hysterický kvantovací funkce

${ displaystyle q (t) = { začátek {případy} x (t) & { text {if}} vlevo | x (t) -q (t ^ {-}) vpravo | geq Delta Q q (t ^ {-}) & { text {jinak}} end {případy}}}$

kde ${ displaystyle Delta Q}$ se nazývá a kvantová. Všimněte si, že tato kvantovací funkce je hysterický protože má Paměť: jeho výstup není jen funkcí aktuálního stavu ${ displaystyle x (t)}$, ale také záleží na jeho staré hodnotě, ${ displaystyle q (t ^ {-})}$.

Tato formulace proto aproximuje stav po částech konstantní funkcí, ${ displaystyle q (t)}$, která aktualizuje svou hodnotu, jakmile se stát odchýlí od této aproximace o jedno kvantum.

The vícerozměrný formulace tohoto systému je téměř stejná jako výše uvedená jednorozměrná formulace: the ${ displaystyle k ^ { text {th}}}$ kvantovaný stav ${ displaystyle q_ {k} (t)}$ je funkcí příslušného stavu, ${ displaystyle x_ {k} (t)}$a stavový vektor ${ displaystyle { vec {x}} (t)}$ je funkcí celého vektoru kvantovaného stavu, ${ displaystyle { vec {q}} (t)}$:

${ displaystyle { vec {x}} (t) = f ({ vec {q}} (t), t)}$

Metody QSS vysokého řádu - QSS2 a QSS3

Metoda QSS druhého řádu, QSS2, se řídí stejným principem jako QSS1, kromě toho, že definuje ${ displaystyle q (t)}$ jako po částech lineární aproximace trajektorie ${ displaystyle x (t)}$ který aktualizuje svou trajektorii, jakmile se oba od sebe liší jedním kvantem. Vzor pokračuje pro aproximace vyššího řádu, které definují kvantovaný stav ${ displaystyle q (t)}$ jako postupně polynomiální aproximace stavu systému vyššího řádu.

Je důležité si uvědomit, že zatímco v zásadě lze pro modelování systému spojitého času použít metodu QSS libovolného řádu, je zřídka žádoucí použít metody řádu vyšší než čtyři, protože Abel – Ruffiniho věta znamená, že čas další kvantizace, ${ displaystyle t}$, nemůže (obecně) být výslovně vyřešen pro algebraicky když je polynomiální aproximace stupně většího než čtyři, a proto musí být iteračně aproximována pomocí a algoritmus hledání kořenů. V praxi se QSS2 nebo QSS3 osvědčují jako dostatečné pro mnoho problémů a použití metod vyššího řádu vede k malé, pokud vůbec nějaké další výhodě.

Zpětná metoda QSS - BQSS

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Květen 2013)

Lineárně implicitní metoda QSS - LIQSS

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Květen 2013)

Implementace softwaru

Metody QSS lze implementovat jako diskrétní systém událostí a simulovat je v jakémkoli DEVS simulátor.

Metody QSS představují hlavní numerický řešič pro PowerDEVS[BK011] software. Byly také implementovány jako samostatná verze.

Reference

• [CK06] Francois E. Cellier a Ernesto Kofman (2006). Kontinuální simulace systému (první vydání). Springer. ISBN  978-0-387-26102-7.
• [BK11] Bergero, Federico & Kofman, Ernesto (2011). „PowerDEVS: nástroj pro modelování hybridních systémů a simulaci v reálném čase“ (první vydání). Society for Computer Simulation International, San Diego.

externí odkazy

• Samostatná implementace metod QSS
• PowerDEVS na SourceForge