Funkce generující faktoriální moment - Factorial moment generating function

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Funkce generující faktoriální moment"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti a statistika, funkce generující faktoriální moment z rozdělení pravděpodobnosti a skutečný náhodná proměnná X je definován jako

${ displaystyle M_ {X} (t) = operatorname {E} { bigl [} t ^ {X} { bigr]}}$

pro všechny komplexní čísla t pro které toto očekávaná hodnota existuje. To platí minimálně pro všechny t na jednotkový kruh ${ displaystyle | t | = 1}$viz charakteristická funkce. LiX je diskrétní náhodná proměnná přijímající hodnoty pouze v množině {0,1, ...} nezáporných celá čísla, pak ${ displaystyle M_ {X}}$ je také nazýván funkce generující pravděpodobnost z X a ${ displaystyle M_ {X} (t)}$ je dobře definovaná alespoň pro všechny t na Zavřeno jednotka disku ${ displaystyle | t | leq 1}$.

Funkce generující faktoriální moment generuje faktoriální momenty z rozdělení pravděpodobnosti.Pokud ${ displaystyle M_ {X}}$ existuje v sousedství z t = 1, nfaktoriální moment je dán ^[1]

${ displaystyle operatorname {E} [(X) _ {n}] = M_ {X} ^ {(n)} (1) = vlevo. { frac { mathrm {d} ^ {n}} { mathrm {d} t ^ {n}}} vpravo | _ {t = 1} M_ {X} (t),}$

Kde Pochhammer symbol (X)_n je klesající faktoriál

${ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) cdots (x-n + 1). ,}$

(Mnoho matematiků, zejména v oblasti speciální funkce, použijte stejnou notaci k reprezentaci rostoucí faktoriál.)

Příklad

Předpokládat X má Poissonovo rozdělení s očekávaná hodnota λ, pak je jeho funkce generující faktorový moment

${ displaystyle M_ {X} (t) = součet _ {k = 0} ^ { infty} t ^ {k} podprsenka { operatorname {P} (X = k)} _ {= , lambda ^ {k} e ^ {- lambda} / k!} = e ^ {- lambda} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(t lambda) ^ {k}} {k!}} = e ^ { lambda (t-1)}, qquad t in mathbb {C},}$

(použijte definice exponenciální funkce ) a tedy máme

${ displaystyle operatorname {E} [(X) _ {n}] = lambda ^ {n}.}$

Viz také

• Moment (matematika)
• Funkce generující momenty
• Funkce generující kumulant