Limit a kolimita předvoleb - Limit and colimit of presheaves

v teorie kategorií, obor matematiky, a omezit nebo a colimit z předvádí na kategorii C je limit nebo colimit v kategorii funktoru ${ displaystyle { widehat {C}} = mathbf {Fct} (C ^ { text {op}}, mathbf {Set})}$.^[1]

Kategorie ${ displaystyle { widehat {C}}}$ připouští malé limity a malé kolimity.^[2] Výslovně, pokud ${ displaystyle f: I to { widehat {C}}}$ je funktor z malé kategorie Já a U je objekt v C, pak ${ displaystyle varinjlim _ {i in I} f (i)}$ se počítá bodově:

${ displaystyle ( varinjlim f (i)) (U) = varinjlim f (i) (U).}$

Totéž platí pro malé limity. Konkrétně to znamená, že například existuje vláknitý produkt, který se počítá bodově.

Když C je malý, podle lemmatu Yoneda lze vidět C jako celá podkategorie ${ displaystyle { widehat {C}}}$. Li ${ displaystyle eta: C až D}$ je funktor, pokud ${ displaystyle f: I to C}$ je funktor z malé kategorie Já a pokud kolimit ${ displaystyle varinjlim f}$ v ${ displaystyle { widehat {C}}}$ je reprezentativní; tj. izomorfní s objektem v C, pak,^[3] v D,

${ displaystyle eta ( varinjlim f) simeq varinjlim eta circ f,}$

(zejména kolimit vpravo existuje v D.)

The věta o hustotě uvádí, že každý presheaf je kolimitem reprezentativních presheaves.

Poznámky

Reference

• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Kategorie a svazky.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.