v algebraická geometrie, a presheaf s převody je zhruba předheaf to, jako teorie cohomologie, přichází s dopřednými „přenosovými“ mapami. Přesně to je, podle definice, kontravariantní aditivní funktor z kategorie konečné korespondence (definované níže) do kategorie abelianských skupin (v teorie kategorií, „Presheaf“ je další termín pro kontravariantní funktor).
Když presheaf F s převody je omezena na podkategorii hladce oddělených schémat, lze ji zobrazit jako předskokana v kategorii s další mapy , nepocházející z morfismy schémat ale také z konečné korespondence z X na Y
Předsporu F s převody se říká, že je -homotopy neměnný -li pro každého X.
Například skupina Chow stejně jako motivická kohomologie jsou předvoleb s převody.
Konečná korespondence
Nechat být algebraická schémata (tj. oddělená a konečného typu nad polem) a předpokládejme je hladký. Pak elementární korespondence je uzavřená podrodina , nějaká připojená součást X, takže projekce je konečný a surjektivní. Nechat být volnou abelianskou skupinou generovanou elementární korespondencí z X na Y; prvky poté jsou voláni konečné korespondence.
Kategorie konečných korespondencí, označená , je kategorie, kde jsou objekty plynulými algebraickými schématy nad polem; kde Hom sada je uvedena jako: a kde je složení definováno jako v teorie průniku: dané základní korespondence z na a z na , jejich složení je:
kde označuje křižovatkový produkt a atd. Všimněte si, že kategorie je kategorie přísad od každé Homovy sady je abelianská skupina.
Tato kategorie obsahuje kategorii plynulých algebraických schémat jako podkategorie v následujícím smyslu: existuje věrný funktor který pošle předmět sobě a morfismu do graf z .
S produkt schémat považována za monoidní operaci, kategorii je symetrická monoidní kategorie.
Snopy s převody
Základní pojem, který je základem všech různých teorií, je předvádí s převody. Jedná se o kontravariantní aditivní funktory
a jejich přidružená kategorie se obvykle označuje , nebo prostě pokud je základní pole pochopeno. Každá z kategorií v této části jsou abelianské kategorie, a proto jsou vhodné pro provádění homologické algebry.
Etale snopy s převody
Ty jsou definovány jako presheaves s převody tak, že omezení jakéhokoli schématu je etale snop. To je, pokud je etal cover a je presheaf s převody, to je Etale snop s převody pokud sekvence
je přesný a existuje izomorfismus
pro všechna pevná plynulá schémata .
Nisnevich se svazuje s převody
Podobná definice existuje pro Nisnevich snop s převody, kde je topologie Etale přepnuta s Nisnevichovou topologií.
Příklady
Jednotky
Svazek jednotek je presheaf s převody. Jakákoli korespondence indukuje konečnou mapu stupňů přes , proto existuje indukovaný morfismus
[1]
ukazující, že jde o předskokana s převody.
Reprezentativní funktory
Jeden ze základních příkladů předskoků s převody jsou dány reprezentativními funktory. Vzhledem k hladkému schématu tam je presheaf s převody odesílání [1].
Reprezentativní funktor přidružený k bodu
Sdružený presheaf s převody je označen .
Špičaté schémata
Další třída základních příkladů pochází ze špičatých schémat s . Tento morfismus vyvolává morfismus jehož koks je označen . Ze strukturního morfismu vychází rozdělení , takže existuje indukovaná mapa , proto .
Reprezentativní funktor přidružený k A.1-0
K zahrnutému schématu je přidružený funktor spojený označeno .
Rozbijte produkt špičatých schémat
Vzhledem k omezené rodině špičatých schémat s převody je spojen presheaf, také označeno [1] od jejich Rozbijte produkt. To je definováno jako jádro
Například vzhledem ke dvěma špičatým schématům , s převody je spojen presheaf rovnající se láhvi z
[2]
Od té doby je to v topologii analogické s produktem smeč kde se mění vztah ekvivalence .
Klín jednoho prostoru
Konečný klín špičatého prostoru je označen . Jedním z příkladů této konstrukce je , který se používá při definici motivických komplexů použito v Motivační kohomologie.
Homotopy invariantní snopy
Předskokan s převody je homotopie neměnná, pokud je projekce morfismus vyvolává izomorfismus pro každé plynulé schéma . Existuje konstrukce sdružující a homotopy invariantní svazek[1] pro každého předskokana s převody pomocí analogie zjednodušené homologie.
Zjednodušená homologie
Existuje schéma
dávat kosimplicitní schéma kde morfismy jsou dány . To znamená,
dává indukovaný morfismus . Poté na předskokana s převody , je zde přidružený komplex předvoleb s převody odesílání
a má indukované řetězové morfizmy
dávat komplex předvoleb s převody. Homologie invaritant předchází s převody jsou homotopy neměnné. Zejména, je univerzální homotopický invariantní presheaf s přenosy spojenými s .
Vztah se skupinou Chow nulových cyklů
Označit . Existuje indukované překvapení což je izomorfismus pro projektivní.
Zerothova homologie Ztr(X)
Nultá homologie je kde homotopická ekvivalence je dána následovně. Dvě konečné korespondence jsou -homotopický ekvivalent, pokud existuje morfismus takhle a .
Motivační komplexy
Pro Voevodského kategorii smíšených motivů, motiv spojené s , je třída v . Jedním ze základních motivických komplexů je pro , definovaný třídou
[1]
Pro skupinu abelianů , jako , existuje motivický komplex . Ty dávají motivické kohomologické skupiny definované
protože motivické komplexy omezit na komplex Zariksi snopy [1]. Tito se nazývají -th motivické kohomologie skupiny hmotnost . Mohou být také rozšířeny na jakoukoli abelianskou skupinu ,
dávání motivické kohomologie s koeficienty ve Windows hmotnosti .
Speciální případy
Existuje několik zvláštních případů, které lze explicitně analyzovat. Jmenovitě, kdy . Tyto výsledky lze najít ve čtvrté přednášce knihy Clay Math.
Z (0)
V tomto případě, který je kvazi-izomorfní (horní část stránky 17)[1], proto váha cohomologické skupiny jsou izomorfní
kde . Protože otevřený kryt
Z (1)
Tento případ vyžaduje více práce, ale konečným výsledkem je kvaziizomorfismus mezi a . To dává dvě motivické kohomologické skupiny
kde střední kohomologické skupiny jsou Zariskiho kohomologie.
Obecný případ: Z (n)
Obecně platí, že přes dokonalé pole , je zde pěkný popis z hlediska předvoleb s převodem . Existuje kvazi-izmorfismus
proto
který se nachází pomocí technik štěpení spolu s řadou kvazi-izomorfismů. Podrobnosti jsou v přednášce 15 knihy Clay Math.
Viz také
Reference
- ^ A b C d E F G Poznámky k přednášce o občanské kohomologii (PDF). Clay Math. str. 13, 15–16, 17, 21, 22.
- ^ Poznámka dávat
externí odkazy