Letadlo v nekonečnu - Plane at infinity
v projektivní geometrie, a letadlo v nekonečnu je nadrovina v nekonečnu trojrozměrného projektivní prostor nebo komukoli letadlo obsažené v nadrovině v nekonečnu jakéhokoli projektivního prostoru vyšší dimenze. Tento článek se bude zabývat pouze trojrozměrným případem.
Definice
Existují dva přístupy k definování letadlo v nekonečnu které závisí na tom, zda začíná projektivním 3prostorem nebo afinní 3-prostor.
Pokud je uveden projektivní 3prostor, letadlo v nekonečnu je jakýkoli odlišný projektivní rovina prostoru.[1] Tento úhel pohledu zdůrazňuje skutečnost, že tato rovina není geometricky odlišná od jakékoli jiné roviny. Na druhou stranu, vzhledem k afinnímu 3prostoru, letadlo v nekonečnu je projektivní rovina, která je přidána do afinního 3-prostoru, aby byla uzavřena výskyt vlastnosti. To znamená, že body letadlo v nekonečnu jsou body, kde se setkají paralelní linie afinního 3-prostoru, a řádky jsou čáry, kde se setkají rovnoběžné roviny afinního 3-prostoru. Výsledkem přidání je projektivní 3prostor, . Tento úhel pohledu zdůrazňuje vnitřní strukturu roviny v nekonečnu, ale ve srovnání s ostatními rovinami vesmíru vypadá „zvláštně“.
Pokud je afinní 3prostor skutečný, , pak přidání a skutečná projektivní rovina v nekonečnu vytváří skutečný projektivní 3prostor .
Analytická reprezentace
Protože libovolné dvě projektivní roviny v projektivním 3prostoru jsou ekvivalentní, můžeme zvolit a homogenní souřadnicový systém takže libovolný bod v rovině v nekonečnu je reprezentován jako (X:Y:Z:0).[2]Jakýkoli bod v afinním 3 prostoru bude poté reprezentován jako (X:Y:Z: 1). Zdá se, že body v rovině v nekonečnu mají tři stupně volnosti, ale homogenní souřadnice jsou ekvivalentní až do jakékoli změny měřítka:
- ,
takže souřadnice (X:Y:Z: 0) může být normalizováno, čímž se sníží stupně volnosti na dva (tedy povrch, jmenovitě projektivní rovina).
Tvrzení: Jakákoli čára, která prochází původ (0: 0: 0: 1) a bodem (X:Y:Z: 1) protne rovinu v bodě v nekonečnu (X:Y:Z:0).
Důkaz: Přímka, která prochází body (0: 0: 0: 1) a (X:Y:Z: 1) se bude skládat z bodů, které jsou lineární kombinace ze dvou daných bodů:
Aby takový bod ležel na rovině v nekonečnu, musíme mít, . Takže výběrem , získáme bod , podle potřeby. Q.E.D.
Jakákoli dvojice paralelních linií ve 3 prostoru se protíná v bodě v rovině v nekonečnu. Každá čára ve 3 prostoru také protíná rovinu v nekonečnu v jedinečném bodě. Tento bod je určen směrem - a pouze směrem - od přímky. Chcete-li určit tento bod, zvažte linii rovnoběžnou s danou linií, ale procházející počátkem, pokud čára již prochází počátkem. Pak vyberte libovolný bod, kromě počátku, na tomto druhém řádku. Pokud jsou homogenní souřadnice tohoto bodu (X:Y:Z: 1), pak jsou homogenní souřadnice bodu v nekonečnu, kterým prochází první i druhá přímka (X:Y:Z:0).
Příklad: Zvažte přímku procházející body (0: 0: 1: 1) a (3: 0: 1: 1). Paralelní čára prochází body (0: 0: 0: 1) a (3: 0: 0: 1). Tato druhá přímka protíná rovinu v bodě v nekonečnu (3: 0: 0: 0). Ale první řádek také prochází tímto bodem:
když . ■
Jakákoli dvojice paralelních rovin v afinním 3prostoru se protíná v projektivní linii (a čára v nekonečnu ) v rovině v nekonečnu. Každá rovina v afinním 3-prostoru také protíná rovinu v nekonečnu v jedinečné linii.[3] Tato přímka je určena směrem - a pouze směrem - roviny.
Vlastnosti
Protože rovina v nekonečnu je projektivní rovinou, je homeomorfní na povrch „koule modulo antipodes“, tj. koule, ve které antipodální body jsou ekvivalentní: S2/ {1, -1}, kde je kvocient chápán jako kvocient skupinovou akcí (viz kvocientový prostor ).
Poznámky
- ^ Samuel 1988, str. 11
- ^ Meserve 1983, str. 150
- ^ Woods 1961, str. 187
Reference
- Bumcrot, Robert J. (1969), Moderní projektivní geometrie, Holt, Rinehart a Winston
- Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Základní pojmy geometrieDover, ISBN 0-486-63415-9
- Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometrie / Komplexní kurzDover, ISBN 0-486-65812-0
- Samuel, Pierre (1988), Projektivní geometrie, UTM Readings in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
- Woods, Frederick S. (1961) [1922], Vyšší geometrie / Úvod do pokročilých metod v analytické geometriiDover
- Yale, Paul B. (1968), Geometrie a symetrie, Holden-Day