Klein quadric - Klein quadric

v matematika, řádky trojrozměrného projektivní prostor, S, lze nahlížet jako na body 5-dimenzionálního projektivního prostoru, T. V tomto 5 prostoru jsou body, které představují každý řádek S ležet na a kvadrický, Q známý jako Klein quadric.

Pokud podkladové vektorový prostor z S je 4-dimenzionální vektorový prostor PROTI, pak T má jako podkladový vektorový prostor 6-dimenzionální vnější náměstí Λ²PROTI z PROTI. The souřadnice čáry takto získané jsou známé jako Plückerovy souřadnice.

Tyto Plückerovy souřadnice uspokojí kvadratický vztah

{ displaystyle p_ {12} p_ {34} + p_ {13} p_ {42} + p_ {14} p_ {23} = 0}

definování Q, kde

{ displaystyle p_ {ij} = u_ {i} v_ {j} -u_ {j} v_ {i}}

jsou souřadnice čáry překlenul dvěma vektory u a proti.

3prostor, S, lze z kvadrika znovu rekonstruovat, Q: letadla obsažená v Q spadnout na dvě části tříd ekvivalence, kde se letadla ve stejné třídě setkávají v bodě a letadla v různých třídách se setkávají v řadě nebo v prázdné sadě. Nechť jsou tyto třídy ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle C '}$ . The geometrie z S se načte takto:

Body z S jsou letadla v C.
Řádky S jsou body Q.
Roviny S jsou letadla v C’.

Skutečnost, že geometrie S a Q jsou izomorfní lze vysvětlit pomocí izomorfismus z Dynkinovy diagramy A₃ a D₃.

Reference

Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projektivní geometrie: od základů po aplikace, strana 169, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
Arthur Cayley (1873) „Na superline kvadrického povrchu v pětidimenzionálním prostoru“, Shromážděné matematické články 9: 79–83.
Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projektivní geometrie, svazek 1, Interpretace souřadnic linky jako souřadnice bodu v S₅, strana 331, Ginn and Company.
Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil, Jr. (1991), Twistor geometrie a teorie pole, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42268-0.