Plückerova matice - Plücker matrix - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Plückerova matice je speciální šikmo symetrický 4 × 4 matice, který charakterizuje přímku v projektivní prostor. Matice je definována 6 Plückerovy souřadnice s 4 stupně svobody. Je pojmenována po německém matematikovi Julius Plücker.

Definice

Přímka v prostoru je definována dvěma odlišnými body ${ displaystyle A = left (A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$ a ${ displaystyle B = left (B_ {0}, B_ {1}, B_ {2}, B_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$ v homogenní souřadnice z projektivní prostor. Jeho Plückerova matice je:

${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times} propto mathbf {A} mathbf {B} ^ { top} - mathbf {B} mathbf {A} ^ { top} = vlevo ({ begin {array} {cccc} 0 & -L_ {01} & - L_ {02} & - L_ {03} L_ {01} & 0 & -L_ {12} & - L_ {13} L_ {02} & L_ {12} & 0 & -L_ {23} L_ {03} & L_ {13} & L_ {23} & 0 end {array}} right)}$

Kde šikmo symetrický ${ displaystyle 4 krát 4}$-matice je definována 6 Plückerovy souřadnice

${ displaystyle mathbf {L} propto (L_ {01}, L_ {02}, L_ {03}, L_ {12}, L_ {13}, L_ {23}) ^ { top}}$

s

${ displaystyle L_ {ij} = A_ {i} B_ {j} -B_ {i} A_ {j}.}$

Plückerovy souřadnice splňují Vztahy Graßmann – Plücker

${ displaystyle L_ {01} L_ {23} -L_ {02} L_ {13} + L_ {03} L_ {12} = 0}$

a jsou definovány až v měřítku. Plückerova matice má pouze hodnost 2 a čtyři stupně volnosti (stejně jako čáry v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$). Jsou nezávislé na konkrétní volbě bodů ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$ a lze jej chápat jako zevšeobecnění přímkové rovnice, tj křížový produkt pro průsečík (splnění) dvou přímek, stejně jako spojovací čáru dvou bodů v projektivní rovině.

Vlastnosti

Plückerova matice nám umožňuje vyjádřit následující geometrické operace jako produkt matice-vektor:

• Letadlo obsahuje řádek: ${ displaystyle mathbf {0} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E}}$
• ${ displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E}}$ je průsečík přímky ${ displaystyle mathbf {L}}$ a letadlo ${ displaystyle mathbf {E}}$ ('Setkat')
• Bod leží on line: ${ displaystyle mathbf {0} = [{ tilde { mathbf {L}}}] _ { times} mathbf {X}}$
• ${ displaystyle mathbf {E} = [{ tilde { mathbf {L}}}] _ { times} mathbf {X}}$ je společná rovina ${ displaystyle mathbf {E}}$, který obsahuje oba bod ${ displaystyle mathbf {X}}$ a čára ${ displaystyle mathbf {L}}$ ('Připojit se').
• Směr čáry: ${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times} pi ^ { infty} = [ mathbf {L}] _ { times} (0,0,0,1) ^ { top} = left (-L_ {03}, - L_ {13}, - L_ {23}, 0 right) ^ { top}}$ (Poznámka: Ta může být interpretována jako rovina kolmá k přímce procházející počátkem souřadnic)
• Nejblíže k původu ${ displaystyle mathbf {X} _ {0} cong [ mathbf {L}] _ { times} [ mathbf {L}] _ { times} pi ^ { infty}.}$

Jedinečnost

Dva libovolné odlišné body na přímce lze napsat jako lineární kombinaci ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$:

${ displaystyle mathbf {A} ^ { prime} propto mathbf {A} alpha + mathbf {B} beta { text {a}} mathbf {B} ^ { prime} propto mathbf {A} gamma + mathbf {B} delta.}$

Jejich Plückerova matice je tedy:

${ displaystyle { begin {aligned} {[} mathbf {L} ^ { prime} {]} _ { times} & = mathbf {A} ^ { prime} mathbf {B} ^ { prime} - mathbf {B} ^ { prime} mathbf {A} ^ { prime} [6pt] & = ( mathbf {A} alpha + mathbf {B} beta) ( mathbf {A} gamma + mathbf {B} delta) ^ { top} - ( mathbf {A} gamma + mathbf {B} delta) ( mathbf {A} alpha + mathbf {B } beta) ^ { top} [6pt] & = underbrace {( alpha delta - beta gamma)} _ { lambda} [ mathbf {L}] _ { times}, konec {zarovnáno}}}$

v měřítku shodném s ${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times}}$.

Křižovatka s rovinou

Setkání roviny a přímky v projektivním trojprostoru, jak je vyjádřeno násobením s Plückerovou maticí

Nechat ${ displaystyle mathbf {E} = left (E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal { P}} ^ {3}}$ označit rovinu rovnicí

${ displaystyle E_ {0} x + E_ {1} y + E_ {2} z + E_ {3} = 0.}$

který neobsahuje řádek ${ displaystyle mathbf {L}}$. Potom produkt matice-vektor s Plückerovou maticí popisuje bod

${ displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E} = mathbf {A} { underset { alpha} { underbrace { mathbf {B} ^ { top} mathbf {E}}}} - mathbf {B} { underset { beta} { underbrace { mathbf {A} ^ { top} mathbf {E}}}} = mathbf { A} alpha + mathbf {B} beta,}$

který leží na řádku ${ displaystyle mathbf {L}}$ protože se jedná o lineární kombinaci ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$. ${ displaystyle mathbf {X}}$ je také obsažen v rovině ${ displaystyle mathbf {E}}$

${ displaystyle mathbf {E} ^ { top} mathbf {X} = mathbf {E} ^ { top} [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E} = { podmnožina { alpha} { underbrace { mathbf {E} ^ { top} mathbf {A}}}} { underset { beta} { underbrace { mathbf {B} ^ { top} mathbf { E}}}} - { underset { beta} { underbrace { mathbf {E} ^ { top} mathbf {B}}}} { underset { alpha} { underbrace { mathbf {A } ^ { top} mathbf {E}}}} = 0,}$

a proto musí být jejich průsečíkem.

Produktem Plückerovy matice s rovinou je navíc nulový vektor, přesně pokud jde o přímku ${ displaystyle mathbf {L}}$ je obsažen úplně v rovině:

${ displaystyle alpha = beta = 0 iff mathbf {E}}$ obsahuje ${ displaystyle mathbf {L}.}$

Duální Plückerova matice

Spojení bodu a přímky v projektivním trojprostoru vyjádřené násobením s Plückerovou maticí

V projektivním trojprostoru mají oba body i roviny stejné zastoupení jako 4-vektory a algebraický popis jejich geometrického vztahu (bod leží na rovině) je symetrický. Zaměněním termínů rovina a bod ve větě získáme a dvojí věta, která je také pravdivá.

V případě Plückerovy matice existuje dvojité znázornění přímky v prostoru jako průsečíku dvou rovin:

${ displaystyle E = left (E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$

a

${ displaystyle F = left (F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$

v homogenní souřadnice z projektivní prostor. Jejich Plückerova matice je:

${ displaystyle left [{ tilde { mathbf {L}}} right] _ { times} = mathbf {E} mathbf {F} ^ { top} - mathbf {F} mathbf { E} ^ { top}}$

a

${ displaystyle mathbf {G} = left [{ tilde { mathbf {L}}} right] _ { times} mathbf {X}}$

popisuje letadlo ${ displaystyle mathbf {G}}$ který obsahuje jak bod ${ displaystyle mathbf {X}}$ a čára ${ displaystyle mathbf {L}}$.

Vztah mezi primární a duální Plückerovou maticí

Jako vektor ${ displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E}}$, s libovolnou rovinou ${ displaystyle mathbf {E}}$, je buď nulový vektor, nebo bod na přímce, následuje:

${ displaystyle forall mathbf {E} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}: , mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E} { text {leží na}} mathbf {L} iff left [{ tilde { mathbf {L}}} right] _ { times} mathbf {X} = mathbf { 0}.}$

Tím pádem:

${ displaystyle left ([{ tilde { mathbf {L}}}] _ { times} [ mathbf {L}] _ { times} right) ^ { top} = [ mathbf {L }] _ { times} left [{ tilde { mathbf {L}}} right] _ { times} = mathbf {0} in mathbb {R} ^ {4 times 4}. }$

Následující produkt splňuje tyto vlastnosti:

${ displaystyle { begin {aligned} & left ({ begin {array} {cccc} 0 & L_ {23} & - L_ {13} & L_ {12} - L_ {23} & 0 & L_ {03} & - L_ {02} L_ {13} & - L_ {03} & 0 & L_ {01} - L_ {12} & L_ {02} & - L_ {01} & 0 end {array}} right) left ({ begin {array} {cccc} 0 & -L_ {01} & - L_ {02} & - L_ {03} L_ {01} & 0 & -L_ {12} & - L_ {13} L_ {02} & L_ {12} & 0 & -L_ {23} L_ {03} & L_ {13} & L_ {23} & 0 end {array}} right) [10pt] = {} & left (L_ {01} L_ {23} -L_ {02} L_ {13} + L_ {03} L_ {12} vpravo) cdot vlevo ({ begin {array} {cccc} 1 a 0 a 0 a 0 0 a 1 a 0 a 0 0 a 0 a 1 a 0 0 a 0 a 0 a 1 konec {pole}} doprava) = mathbf {0}, end {zarovnáno}}}$

v důsledku Graßmann – Plückerův vztah. Díky jedinečnosti Plückerových matic až po skalární násobky, pro prvotní Plückerovy souřadnice

${ displaystyle mathbf {L} = left (L_ {01}, , L_ {02}, , L_ {03}, , L_ {12}, , L_ {31}, , L_ {23 } right) ^ { top}}$

získáme následující duální souřadnice Plückera:

${ displaystyle { tilde { mathbf {L}}} = vlevo (L_ {23}, , - L_ {13}, , L_ {12}, , L_ {03}, , - L_ { 02}, , L_ {01} vpravo) ^ { nahoru}.}$

V projektivní rovině

Dualita operací spojování a setkávání ve dvou prostorech.

Spojení dvou bodů v projektivní rovině je operace spojení dvou bodů přímkou. Její liniovou rovnici lze vypočítat pomocí křížový produkt:

${ displaystyle mathbf {l} propto mathbf {a} times mathbf {b} = left ({ begin {array} {c} a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ { 2} b_ {0} a_ {2} -a_ {0} b_ {2} a_ {0} b_ {1} -a_ {1} b_ {0} end {pole}} vpravo) = left ({ begin {array} {c} l_ {0} l_ {1} l_ {2} end {array}} right).}$

Dvojitě lze vyjádřit „splnění“ nebo průnik dvou přímek křížovým produktem:

${ displaystyle mathbf {x} propto mathbf {l} krát mathbf {m}}$

Vztah k Plückerovým maticím je zřejmý, pokud někdo napíše křížový produkt jako produkt matice-vektor se zkosenou symetrickou maticí:

${ displaystyle [ mathbf {l}] _ { times} = mathbf {a} mathbf {b} ^ { top} - mathbf {b} mathbf {a} ^ { top} = vlevo ({ begin {array} {ccc} 0 & l_ {2} & - l_ {1} - l_ {2} & 0 & l_ {0} l_ {1} & - l_ {0} & 0 end {array}} že jo)}$

a analogicky ${ displaystyle [ mathbf {x}] _ { times} = mathbf {l} mathbf {m} ^ { top} - mathbf {m} mathbf {l} ^ { top}}$

Geometrická interpretace

Nechat ${ displaystyle mathbf {d} = left (-L_ {03}, , - L_ {13}, , - L_ {23} right) ^ { top}}$ a ${ displaystyle mathbf {m} = vlevo (L_ {12}, , - L_ {02}, , L_ {01} vpravo) ^ { nahoru}}$, pak můžeme psát

${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times} = left ({ begin {pole} {cc} [ mathbf {m}] _ { times} & mathbf {d} - mathbf {d} a 0 end {pole}} vpravo)}$

a

${ displaystyle [{ tilde { mathbf {L}}}] _ { times} = left ({ begin {array} {cc} [- mathbf {d}] _ { times} & mathbf {m} - mathbf {m} a 0 end {pole}} vpravo),}$^{[Citace je zapotřebí ]}

kde ${ displaystyle mathbf {d}}$ je posunutí a ${ displaystyle mathbf {m}}$ je okamžik čáry, porovnejte geometrická intuice souřadnic Plücker.

Reference

• Richter-Gebert, Jürgen (2011). Pohledy na projektivní geometrii: Prohlídka reálné a komplexní projektivní geometrie s průvodcem. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17286-1.
• Jorge Stolfi (1991). Orientovaná projektivní geometrie: Rámec pro geometrické výpočty. Akademický tisk. ISBN  978-1483247045.
  Z původní Stanford University 1988 Ph.D. disertační práce, Primitiva pro výpočetní geometrii, k dispozici jako [1].
• Blinn, James F. (Srpen 1977). "Homogenní formulace pro čáry ve 3 prostoru". ACM SIGGRAPH Počítačová grafika. 11 (2): 237–241. doi:10.1145/965141.563900. ISSN  0097-8930.