Picardova věta - Picard theorem

Větu o existenci a jedinečnosti řešení diferenciálních rovnic viz Picard – Lindelöfova věta.

v komplexní analýza, Picardova velká věta a Picardova malá věta souvisejí věty o rozsah z analytická funkce. Jsou pojmenovány po Émile Picard.

Věty

Plot funkce exp (1⁄z), zaměřený na základní singularitu v z = 0. Odstín bodu z představuje argument exp (1⁄z), jas představuje jeho absolutní hodnotu. Tento graf ukazuje, že libovolně blízko singularity jsou dosaženy všechny nenulové hodnoty.

Malá Picardova věta: Pokud funkce F : C → C je celý a nekonstantní, pak sada hodnot, které F(z) předpokládá, že je buď celá komplexní rovina, nebo rovina minus jeden bod.

Náčrt důkazu: Picardův původní důkaz byl založen na vlastnostech modulární lambda funkce, obvykle označovaný λ, a který pomocí moderní terminologie provádí holomorfní univerzální potah dvakrát propíchnuté roviny diskem jednotky. Tato funkce je výslovně konstruována v teorii eliptické funkce. Li F vynechá dvě hodnoty, pak složení F s inverzí modulární funkce mapuje rovinu disku jednotky, což z toho vyplývá F je konstantní Liouvilleova věta.

Tato věta je významným posílením Liouvilleovy věty, která uvádí, že obraz celé nekonstantní funkce musí být neomezený. Mnoho různých důkazů Picardovy věty bylo později nalezeno a Schottkyho věta je jeho kvantitativní verzí. V případě, že hodnoty F chybí jeden bod, tento bod se nazývá a mezní hodnota funkce.

Velká Picardova věta: Pokud analytická funkce F má zásadní singularita v určitém okamžiku w, pak na jakékoli propíchnuté sousedství z w, F(z) přebírá nekonečně často všechny možné komplexní hodnoty, maximálně s jedinou výjimkou.

Jedná se o podstatné posílení EU Casorati-Weierstrassova věta, což pouze zaručuje, že rozsah F je hustý v komplexní rovině. Výsledkem Velké Picardovy věty je, že jakákoli celá nepolynomiální funkce dosahuje nekonečně často všech možných komplexních hodnot, maximálně s jednou výjimkou.

„Jedna výjimka“ je nutná v obou větách, jak je ukázáno zde:

  • Ez je celá nekonstantní funkce, která nikdy není 0,
  • E1/z má zásadní singularitu na 0, ale přesto nikdy nedosáhne 0 jako hodnoty.

Zobecnění a současný výzkum

Velká Picardova věta platí v poněkud obecnější podobě, která platí i pro meromorfní funkce:

Velká Picardova věta (meromorfní verze): Li M je Riemannův povrch, w bod na M, P1(C) = C ∪ {∞} označuje Riemannova koule a F : M\{w} → P1(C) je holomorfní funkce s esenciální singularitou v w, pak na libovolnou otevřenou podmnožinu M obsahující w, funkce F(z) dosahuje všech, ale nanejvýš dva body P1(C) nekonečně často.

Příklad: Meromorfní funkce F(z) = 1/(1 − E1/z) má zásadní singularitu v z = 0 a dosáhne hodnoty ∞ nekonečně často v libovolném sousedství 0; nedosahuje však hodnot 0 nebo 1.

S tímto zevšeobecněním Malá Picardova věta vyplývá z Velká Picardova věta protože celá funkce je buď polynom, nebo má základní singularitu v nekonečnu. Stejně jako u malé věty jsou (maximálně dva) body, které nejsou dosaženy, lakunární hodnoty funkce.

Následující dohad souvisí s „Velkou Picardovou větou“:[1]

Dohad: Nechť {U1, ..., Un} být sbírkou otevřených připojených podmnožin C že Pokrýt propíchnutý jednotka disku D {0}. Předpokládejme, že na každém Uj tady je injekční holomorfní funkce Fj, takže dFj = dFk na každé křižovatce Uj ∩ Uk. Poté se diferenciály slepí k a meromorfní 1-formulář na D.

Je zřejmé, že diferenciály se lepí dohromady do holomorfní 1 formy G dz na D {0}. Ve zvláštním případě, kdy zbytek z G při 0 je nula domněnka vyplývá z „Velké Picardovy věty“.

Poznámky

  1. ^ Elsner, B. (1999). „Hyperelliptická akce integrální“ (PDF). Annales de l'Institut Fourier. 49 (1): 303–331. doi:10,5802 / aif.1675.

Reference