Casorati-Weierstrassova věta - Casorati–Weierstrass theorem - Wikipedia

v komplexní analýza, obor matematiky, Casorati-Weierstrassova věta popisuje chování holomorfní funkce blízko jejich základní singularity. Je pojmenován pro Karl Theodor Wilhelm Weierstrass a Felice Casorati. V ruské literatuře se tomu říká Sokhotského teorém.

Formální tvrzení věty

Začněte s některými otevřená podmnožina ${ displaystyle U}$ v složité letadlo obsahující číslo ${ displaystyle z_ {0}}$a funkce ${ displaystyle f}$ to je holomorfní na ${ displaystyle U zpětné lomítko {z_ {0} }}$, ale má zásadní singularita na ${ displaystyle z_ {0}}$ . The Casorati-Weierstrassova věta pak to uvádí

-li ${ displaystyle V}$ je jakýkoli sousedství z ${ displaystyle z_ {0}}$ obsaženo v ${ displaystyle U}$, pak ${ displaystyle f (V zpětné lomítko {z_ {0} })}$ je hustý v ${ displaystyle mathbb {C}}$.

To lze také konstatovat následovně:

pro všechny ${ displaystyle varepsilon> 0, delta> 0}$a komplexní číslo ${ displaystyle w}$, existuje komplexní číslo ${ displaystyle z}$ v ${ displaystyle U}$ s ${ displaystyle 0 <| z-z_ {0} | < delta}$ a ${ displaystyle | f (z) -w | < varepsilon}$ .

Nebo ještě popisnějším způsobem:

${ displaystyle f}$ se svévolně blíží žádný komplexní hodnota v každém sousedství ${ displaystyle z_ {0}}$.

Věta je značně posílena Picardova velká věta, který ve výše uvedeném zápisu uvádí, že ${ displaystyle f}$ předpokládá každý komplexní hodnota, až na jednu možnou výjimku, nekonečně často zapnutá ${ displaystyle V}$.

V případě, že ${ displaystyle f}$ je celá funkce a ${ displaystyle a = infty}$, věta říká, že hodnoty ${ displaystyle f (z)}$přistupovat ke každému komplexnímu číslu a ${ displaystyle infty}$, tak jako ${ displaystyle z}$ má sklon k nekonečnu. Je pozoruhodné, že to neplatí holomorfní mapy ve vyšších dimenzích, jako slavný příklad Pierre Fatou ukazuje.^[1]

Graf funkce exp (1 /z), zaměřený na základní singularitu v z = 0. Odstín představuje komplexní argument, jas představuje absolutní hodnotu. Tento graf ukazuje, jak přístup k základní singularitě z různých směrů přináší odlišné chování (na rozdíl od pólu, který by byl rovnoměrně bílý).

Příklady

Funkce F(z) = exp (1/z) má zásadní singularitu na 0, ale funkci G(z) = 1/z³ ne (má pól na 0).

Zvažte funkci

${ displaystyle f (z) = e ^ {1 / z}.}$

Tato funkce má následující Taylor série o základní singulární bod v 0:

${ displaystyle f (z) = displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} z ^ {- n}.}$

Protože ${ displaystyle f '(z) = { frac {-e ^ { frac {1} {z}}} {z ^ {2}}}}$ existuje pro všechny body z ≠ 0 to víme ƒ(z) je analytický v a propíchnuté sousedství z z = 0. Proto je to izolovaná singularita, stejně jako být zásadní singularita.

Pomocí změny proměnné na polární souřadnice ${ displaystyle z = re ^ {i theta}}$ naše funkce, ƒ(z) = E^1/z se stává:

${ displaystyle f (z) = e ^ {{ frac {1} {r}} e ^ {- i theta}} = e ^ {{ frac {1} {r}} cos ( theta) } e ^ {- { frac {1} {r}} i sin ( theta)}.}$

Užívání absolutní hodnota obou stran:

${ displaystyle left | f (z) right | = left | e ^ {{ frac {1} {r}} cos theta} right | left | e ^ {- { frac {1 } {r}} i sin ( theta)} right | = e ^ {{ frac {1} {r}} cos theta}.}$

Tedy pro hodnoty θ takový, že cosθ > 0, máme ${ displaystyle f (z) rightarrow infty}$ tak jako ${ displaystyle r rightarrow 0}$, a pro ${ displaystyle cos theta <0}$, ${ displaystyle f (z) rightarrow 0}$ tak jako ${ displaystyle r rightarrow 0}$.

Zvažte, co se stane, například kdy z bere hodnoty na kružnici o průměru 1 /R tečna k imaginární ose. Tento kruh je dán vztahem r = (1/R) cosθ. Pak,

${ displaystyle f (z) = e ^ {R} doleva [ cos doleva (R tan theta doprava) -i sin doleva (R tan theta doprava) doprava]}$

a

${ displaystyle left | f (z) right | = e ^ {R}.}$

Tím pádem,${ displaystyle left | f (z) right |}$ může mít jakoukoli kladnou hodnotu jinou než nula vhodnou volbou R. Tak jako ${ displaystyle z rightarrow 0}$ na kruhu, ${ displaystyle theta rightarrow { frac { pi} {2}}}$ s R pevný. Takže tato část rovnice:

${ displaystyle left [ cos left (R tan theta right) -i sin left (R tan theta right) right]}$

přebírá všechny hodnoty na jednotkový kruh nekonečně často. Proto F(z) přebírá hodnotu každého čísla v složité letadlo až na nulu nekonečně často.

Důkaz věty

Krátký důkaz věty je následující:

Vezměte jako danou funkci F je meromorfní na nějakém propíchnutém sousedství PROTI \ {z₀} a to z₀ je zásadní singularita. Rozporem předpokládejme, že nějaká hodnota b existuje, že se funkce nikdy nemůže přiblížit; to znamená: předpokládejme, že existuje nějaká komplexní hodnota b a některá ε> 0 taková, že |F(z) − b| ≥ ε pro všechny z v PROTI na kterém F je definováno.

Pak nová funkce:

${ displaystyle g (z) = { frac {1} {f (z) -b}}}$

musí být holomorfní PROTI \ {z₀}, s nuly na póly z F, a ohraničený 1 / ε. Může tedy být analyticky pokračováno (nebo nepřetržitě prodlouženo nebo holomorfně prodlouženo) až Všechno z PROTI podle Riemannova věta o analytickém pokračování. Takže původní funkci lze vyjádřit pomocí G:

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {g (z)}} + b}$

pro všechny argumenty z v PROTI \ {z₀}. Zvažte dva možné případy

${ displaystyle lim _ {z až z_ {0}} g (z).}$

Pokud je limit 0, pak F má pól na z₀ . Pokud limit není 0, pak z₀ je odnímatelná singularita z F . Obě možnosti jsou v rozporu s předpokladem z₀ je zásadní singularita funkce F . Proto je předpoklad nepravdivý a věta platí.

Dějiny

Historii této důležité věty popisujeCollingwood a Lohwater.^[2]To bylo publikováno Weierstrassem v roce 1876 (v němčině) a Sokhotskim v roce 1868 ve své diplomové práci (v ruštině). Tak se tomu říkalo Sokhotskiho věta v ruské literatuře a Weierstrassova věta v západní literatuře. Stejnou větu publikoval Casorati v roce 1868 a Briot a Bouquet v ní první vydání jejich knihy (1859).^[3]Nicméně, Briot a Kytice odstraněn tato věta z druhého vydání (1875).

Reference

• Sekce 31, věta 2 (str. 124–125) z Knopp, Konrad (1996), Teorie funkcí, Dover Publications, ISBN  978-0-486-69219-7