Mahlerova věta - Mahlers theorem - Wikipedia

V matematice Mahlerova věta, představil Kurt Mahler  (1958 ), vyjadřuje spojité p-adic funkce z hlediska polynomů. Přes všechny pole, jeden má následující výsledek:

Nechat ${ displaystyle ( Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x)}$ být vpřed operátor rozdílu. Pak pro polynomiální funkce F máme Newtonova řada

${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} ( Delta ^ {k} f) (0) {x zvolte k},}$

kde

${ displaystyle {x zvolit k} = { frac {x (x-1) (x-2) cdots (x-k + 1)} {k!}}}$

je kpolynomiální koeficient binomického koeficientu.

Přes pole reálná čísla, předpoklad, že funkce F je polynom, může být oslaben, ale nemůže být oslaben až na pouhý kontinuita. Mahlerova věta říká, že pokud F je spojitý p-adic -hodnotící funkce na p-adická celá čísla, pak platí stejná identita. Vztah mezi operátorem Δ a tímto polynomiální sekvence je hodně podobné tomu mezi diferenciací a sekvencí jehož kth termín je X^k.

Je pozoruhodné, že stačí slabý předpoklad jako kontinuita; naopak Newtonova řada na poli komplexní čísla jsou mnohem pevněji omezeny a vyžadují Carlsonova věta držet. Je to algebra, že pokud F je polynomiální funkce s koeficienty v libovolném pole z charakteristický 0, stejná identita platí tam, kde má součet konečně mnoho výrazů.

Reference

• Mahler, K. (1958), "Interpolační řada pro spojité funkce proměnné p-adic", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 199: 23–34, ISSN  0075-4102, PAN  0095821