Quillen – Lichtenbaumova domněnka - Quillen–Lichtenbaum conjecture - Wikipedia

v matematika, Quillen – Lichtenbaumova domněnka je domněnka étale cohomology na algebraická K-teorie představil Quillen (1975, str. 175), který byl inspirován dřívějšími domněnkami o Lichtenbaum (1973). Kahn (1997) a Rognes & Weibel (2000) dokázal hypotézu Quillen – Lichtenbaum na prvočísle 2 u některých číselných polí. Voevodsky, s využitím některých důležitých výsledků Markus Rost, prokázal Bloch – Kato domněnka, z čehož vyplývá hypotéza Quillen – Lichtenbaum pro všechna prvočísla.

Prohlášení

Domněnka v Quillenově původní podobě uvádí, že pokud A je konečně generovaná algebra nad celými čísly a l je prime, pak existuje spektrální sekvence analogická k Spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch, počínaje od

${ displaystyle E_ {2} ^ {pq} = H _ { text {etale}} ^ {p} ({ text {Spec}} A [ ell ^ {- 1}], Z _ { ell} (- q / 2)),}$ (což je chápáno jako 0, pokud q je zvláštní)

a přiléhající k

${ displaystyle K _ {- p-q} A otimes Z _ { ell}}$

pro -p − q > 1 + dimA.

K.-teorie celých čísel

Za předpokladu hypotézy Quillen – Lichtenbaum a Vandiver dohad, K.-skupiny celých čísel, K._n(Z), jsou dány:

• 0 pokud n = 0 mod 8 a n > 0, Z -li n = 0
• Z ⊕ Z/ 2 pokud n = 1 mod 8 a n > 1, Z/ 2 pokud n = 1.
• Z/C_k ⊕ Z/ 2 pokud n = 2 mod 8
• Z/8d_k -li n = 3 mod 8
• 0 pokud n = 4 mod 8
• Z -li n = 5 mod 8
• Z/C_k -li n = 6 mod 8
• Z/4d_k -li n = 7 mod 8

kde C_k/d_k je Bernoulliho číslo B_2k/k v nejnižším vyjádření a n je 4k - 1 nebo 4k − 2 (Weibel 2005 ).

Reference

• Grayson, Daniel R. (1994), „Váhové filtrace v algebraické K-teorii“, Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motivy (Seattle, WA, 1991), Proc. Symposy. Čistá matematika., 55„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 207–237, ISBN  978-0-8218-1636-3, PAN  1265531
• Kahn, Bruno (1997), Quillen-Lichtenbaumova domněnka v prime 2 (PDF)
• Lichtenbaum, Stephen (1973), „Values ​​of zeta-functions, étale cohomology, and algebraic K-theory“, in Bass, H. (ed.), Algebraická K-teorie, II: Klasická algebraická K-teorie a souvislosti s aritmetikou (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972)Přednášky z matematiky, 342, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 489–501, doi:10.1007 / BFb0073737, ISBN  978-3-540-06435-0, PAN  0406981
• Quillen, Daniel (1975), „Vyšší algebraická K-teorie“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1, Kanada. Matematika. Congress, Montreal, Que., Str. 171–176, PAN  0422392
• Rognes, J .; Weibel, Charles (2000), „Dvě primární algebraické K-teorie kruhů celých čísel v číselných polích“, Journal of the American Mathematical Society, 13 (1): 1–54, doi:10.1090 / S0894-0347-99-00317-3, ISSN  0894-0347, PAN  1697095
• Weibel, Charles (2005), „Algebraická K-teorie prstenů celých čísel v lokálních a globálních polích“, v Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (eds.), Příručka K-teorie. Sv. 1, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 139–190, doi:10.1007/3-540-27855-9_5, ISBN  978-3-540-23019-9, PAN  2181823