Skupina svítilen - Lamplighter group

v matematika, skupina svítilen L z teorie skupin je omezený věnec produkt ${displaystyle mathbf {Z} _ {2} wr mathbf {Z}}$

Úvod

Název skupiny pochází z pohledu skupiny, jak působí na dvojnásobně nekonečný sled pouličních lamp ${displaystyle dots, l _ {- 2}, l _ {- 1}, l_ {0}, l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}, dots}$ každý z nich může být zapnutý nebo vypnutý, a svítilna stojící u nějaké lampy ${displaystyle l_ {k}.}$ Ekvivalentní popis k tomu se nazývá základní skupina ${displaystyle B}$ z ${displaystyle L}$ je

{displaystyle B = igoplus _ {- infty} ^ {infty} mathbf {Z} _ {2},}

nekonečný přímý součet kopií cyklické skupiny ${displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$ kde ${displaystyle 0}$ odpovídá světlu, které je vypnuté a ${displaystyle 1}$ odpovídá rozsvícenému světlu a přímý součet se používá k zajištění toho, že svítí jen konečně mnoho světel najednou. Prvek ${displaystyle mathbf {Z}}$ udává polohu lampy a ${displaystyle B}$ kódovat, které žárovky jsou osvětlené.

Pro skupinu existují dva generátory: generátor t přírůstcích k, takže se lampa přesune na další lampu (t^-1 dekrementy k), zatímco generátor A znamená, že stav lampy l_k se změní (z vypnuto na zapnuto nebo z zapnuto na vypnuto.) Skupinové násobení se provádí „sledováním“ těchto operací.

Můžeme předpokládat, že kdykoli svítí jen konečně mnoho lamp, protože působí jakýkoli prvek L mění maximálně konečně mnoho lamp. Počet rozsvícených žárovek je však neomezený. Skupinová akce je tedy podobná akci a Turingův stroj dvěma způsoby. Turingův stroj má neomezenou paměť, ale v daném okamžiku použil pouze omezené množství paměti. Hlava Turingova stroje je navíc analogická s lampou.

Prezentace

Standardní prezentace protože skupina lamplighter vychází ze struktury produktu věnce

{displaystyle langle a, tmid a ^ {2}, [t ^ {m} at ^ {- m}, t ^ {n} at ^ {- n}], m, nin mathbb {Z} úhel}

, které lze zjednodušit na

{displaystyle langle a, tmid a ^ {2}, (at ^ {n} at ^ {- n}) ^ {2}, nin mathbb {Z} úhel}

.

Generátory A a t jsou pro skupinu pozoruhodné tempo růstu, i když jsou někdy nahrazeny A a na, změna logaritmu rychlosti růstu maximálně o faktor 2.

Tato prezentace není konečná (má nekonečně mnoho vztahů). Ve skutečnosti neexistuje žádná konečná prezentace pro skupinu svítilen, to však není konečně představen.

Maticová reprezentace

Povolující ${displaystyle t}$ být formální proměnnou, skupinou lamp ${displaystyle L}$ je izomorfní se skupinou matic

{displaystyle {egin {pmatrix} t ^ {k} & p 0 & 1end {pmatrix}},}

kde ${displaystyle kin mathbf {Z}}$ a ${displaystyle p}$ rozsahy přes všechny polynomy v ${displaystyle mathbf {Z} _ {2} [t, t ^ {- 1}].}$ ^[1]

Pomocí výše uvedených prezentací je izomorfismus dán vztahem

{displaystyle {egin {aligned} t & mapsto {egin {pmatrix} t & 0 0 & 1end {pmatrix}} a & mapsto {egin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1end {pmatrix}}. end {aligned}}}

Zobecnění

Lze také definovat skupiny lamp ${displaystyle L_ {n} = mathbf {Z} _ {n} wr mathbf {Z}}$ , s ${displaystyle nin mathbb {N}}$ , takže „lampy“ mohou mít více než jen možnost „vypnuto“ a „zapnuto“. Klasická skupina lamp se obnoví, když ${displaystyle n = 2.}$

Reference

^ Clay, Matt; Margalit, Dan, eds. (2017-07-11). Úřední hodiny s teoretikem geometrické skupiny. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press. ISBN 9780691158662.

Další čtení

Volodymyr Nekrashevych, 2005, Self-podobné skupiny, Mathematical Surveys and Monographs v. 117, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3831-8.

[1] Clay, Matt; Margalit, Dan, eds. (2017-07-11). Úřední hodiny s teoretikem geometrické skupiny. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press. ISBN 9780691158662.

[1]