Produkt Whitehead - Whitehead product - Wikipedia

V matematice je Produkt Whitehead je odstupňované kvazi-Lieova algebra struktura na homotopické skupiny prostoru. To bylo definováno J. H. C. Whitehead v (Whitehead 1941 ).

Relevantní MSC kód je: 55Q15, produkty Whitehead a zobecnění.

Definice

Dané prvky ${ displaystyle f in pi _ {k} (X), g in pi _ {l} (X)}$ , Držák Whitehead

{ displaystyle [f, g] v pi _ {k + l-1} (X) ,}

je definována takto:

Produkt ${ displaystyle S ^ {k} krát S ^ {l}}$ lze získat připojením a ${ displaystyle (k + l)}$ - buňka do klínový součet

{ displaystyle S ^ {k} vee S ^ {l}}

;

the připevnění mapy je mapa

{ displaystyle S ^ {k + l-1} { stackrel { phi} { longrightarrow }} S ^ {k} vee S ^ {l}.}

Zastupovat ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ podle map

{ displaystyle f colon S ^ {k} až X}

a

{ displaystyle g colon S ^ {l} až X,}

poté sestavte svůj klín s připojovací mapou, jako

{ displaystyle S ^ {k + l-1} { stackrel { phi} { longrightarrow }} S ^ {k} vee S ^ {l} { stackrel {f vee g} { longrightarrow }} X.}

The třída homotopy výsledné mapy nezávisí na volbách zástupců, a tak získáme přesně definovaný prvek

{ displaystyle pi _ {k + l-1} (X).}

Hodnocení

Všimněte si, že v klasifikaci došlo k posunu o 1 (ve srovnání s indexováním indexu) homotopické skupiny ), tak ${ displaystyle pi _ {k} (X)}$ má titul ${ displaystyle (k-1)}$ ; ekvivalentně, ${ displaystyle L_ {k} = pi _ {k + 1} (X)}$ (nastavení L být klasifikovanou kvazi-Lieovou algebrou). Tím pádem ${ displaystyle L_ {0} = pi _ {1} (X)}$ působí na každou odstupňovanou složku.

Vlastnosti

Produkt Whitehead splňuje tyto vlastnosti:

Bilinearita. ${ displaystyle [f, g + h] = [f, g] + [f, h], [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$
Odstupňovaná symetrie. ${ displaystyle [f, g] = (- 1) ^ {pq} [g, f], f in pi _ {p} X, g in pi _ {q} X, p, q geq 2}$
Stupňovaná Jacobi identita. ${ displaystyle (-1) ^ {pr} [[f, g], h] + (- 1) ^ {pq} [[g, h], f] + (- 1) ^ {rq} [[h , f], g] = 0, f in pi _ {p} X, g in pi _ {q} X, h in pi _ {r} X { text {with}} p, q, r geq 2}$

Někdy se homotopické skupiny prostoru spolu s operací produktu Whitehead nazývají a odstupňované kvazi-Lieova algebra; to je prokázáno v Uehara & Massey (1957) přes Trojitý produkt Massey.

Vztah k činnosti ${ displaystyle pi _ {1}}$

Li ${ displaystyle f in pi _ {1} (X)}$ , potom Whitehead závorka souvisí s obvyklou akcí ${ displaystyle pi _ {1}}$ na ${ displaystyle pi _ {k}}$ podle

{ displaystyle [f, g] = g ^ {f} -g,}

kde ${ displaystyle g ^ {f}}$ označuje časování z ${ displaystyle g}$ podle ${ displaystyle f}$ .

Pro ${ displaystyle k = 1}$ , to se sníží na

{ displaystyle [f, g] = fgf ^ {- 1} g ^ {- 1},}

což je obvyklé komutátor v ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ To lze také vidět pozorováním, že ${ displaystyle 2}$ - buňka torusu ${ displaystyle S ^ {1} krát S ^ {1}}$ je připevněn podél komutátoru v ${ displaystyle 1}$ -kostra ${ displaystyle S ^ {1} vee S ^ {1}}$ .

Produkty Whitehead na H-prostorech

Pro spojenou cestu H-prostor, všechny produkty Whitehead ${ displaystyle pi _ {*} (X)}$ V předchozím pododdíle se jedná o zobecnění obou skutečností, že základní skupina H-prostorů je abelian a že H-prostory jsou jednoduchý.

Suspenze

Všechny produkty Whitehead tříd ${ displaystyle alpha in pi _ {i} (X)}$ , ${ displaystyle beta in pi _ {j} (X)}$ leží v jádře suspenze homomorfismus ${ displaystyle Sigma tlusté střevo pi _ {i + j-1} (X) až pi _ {i + j} ( Sigma X)}$

Příklady

${ displaystyle [ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, mathrm {id} _ {S ^ {2}}] = 2 cdot eta in pi _ {3} (S ^ { 2})}$ , kde ${ displaystyle eta dvojtečka S ^ {3} až S ^ {2}}$ je Hopf mapa.

To lze ukázat pozorováním, že Hopf invariantní definuje izomorfismus ${ displaystyle pi _ {3} (S ^ {2}) cong mathbb {Z}}$ a explicitní výpočet cohomologického prstence cofibre mapy představující ${ displaystyle [ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, mathrm {id} _ {S ^ {2}}]}$ .

Aplikace pro group-grupoidy

Připomeňme, že group-groupoid ${ displaystyle Pi (X)}$ je ${ displaystyle infty}$ -kategorie zobecnění grupoidy který se předpokládá, že kóduje data z homotopický typ z ${ displaystyle X}$ v algebraickém formalismu. Objekty jsou body v prostoru ${ displaystyle X}$ , morfismy jsou homotopické třídy cest mezi body a vyšší morfismy jsou vyšší homotopy těchto bodů.

Existence produktu Whitehead je hlavním důvodem, proč definovat pojem Group -grupoidy je tak náročný úkol. Ukázalo se, že jakýkoli přísný group-groupoid^[1] má pouze triviální produkty Whitehead, proto přísné grupoidy nikdy nemohou modelovat homotopické typy koulí, jako například ${ displaystyle S ^ {3}}$ .^[2]

Viz také

Reference

^ Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). „Ekvivalence ∞-grupoidů a zkřížených komplexů“. Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 22 (4): 371–386.
^ Simpson, Carlos (10.10.1998). "Homotopy typů přísných 3-groupoidů". arXiv:matematika / 9810059.

Whitehead, J. H. C. (Duben 1941), „O přidávání vztahů k homotopickým skupinám“, Annals of Mathematics, 2, 42 (2): 409–428, doi:10.2307/1968907, JSTOR 1968907
Uehara, Hiroši; Massey, William S. (1957), „Jacobi identity pro produkty Whitehead“, Algebraická geometrie a topologie. Sympózium na počest S. Lefschetze, Princeton, N. J .: Princeton University Press, str. 361–377, PAN 0091473
Whitehead, George W. (Červenec 1946), "O produktech ve skupinách homotopy", Annals of Mathematics, 2, 47 (3): 460–475, doi:10.2307/1969085, JSTOR 1969085
Whitehead, George W. (1978). „X.7 Produkt Whitehead“. Základy teorie homotopy. Springer-Verlag. 472–487. ISBN 978-0387903361.

[1] Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). „Ekvivalence ∞-grupoidů a zkřížených komplexů“. Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 22 (4): 371–386.

[2] Simpson, Carlos (10.10.1998). "Homotopy typů přísných 3-groupoidů". arXiv:matematika / 9810059.

[1]

[2]