Logická spojka - Logical conjunction

Logická spojka
A
Definice
Pravdivá tabulka
Logická brána
Normální formy
Disjunktivní
Spojovací
Zhegalkinový polynom
Mřížky Postu
0-konzervování	Ano
1-konzervování	Ano
Monotónní	Ne
Afinní	Ne

Vennův diagram

{displaystyle Aland Bland C}

v logika, matematika a lingvistika, A (∧) je pravda-funkční provozovatel logická spojka; the a množiny operandů je pravda právě tehdy Všechno jeho operandy jsou pravdivé. The logické pojivo který představuje tento operátor, se obvykle píše jako $\land$ nebo $\cdot$ .^[1]^[2]^[3]

${displaystyle Aland B}$ je pravda právě tehdy ${displaystyle A}$ je pravda a ${displaystyle B}$ je pravda.

Operand spojky je a spojený.

Kromě logiky se termín „konjunkce“ vztahuje také na podobné koncepty v jiných oblastech:

v přirozený jazyk, koordinační spojení "a".
v programovací jazyky, zkrat a kontrolní struktura.
v teorie množin, průsečík.
v teorie mřížky, logická spojka (největší dolní mez ).
v predikátová logika, univerzální kvantifikace.

Zápis

A je obvykle označen operátorem infix: v matematice a logice je označen $\land$ ,^[1]^[3] $&$ nebo $\times$ ; v elektronice, $\cdot$ ; a v programovacích jazycích, &, &&nebo a. v Jan Łukasiewicz je prefixový zápis pro logiku, operátor je K., pro polštinu koniunkcja.^[4]

Definice

Logická spojka je úkon na dva logické hodnoty, obvykle hodnoty dvou propozice, který produkuje hodnotu skutečný kdyby a jen kdyby oba jeho operandy jsou pravdivé.^[2]^[3]

Spojka identita je pravda, což znamená, že AND-ing výraz s true nikdy nezmění hodnotu výrazu. V souladu s konceptem prázdná pravda, když je spojka definována jako operátor nebo funkce libovolné arity, prázdná spojka (AND-ing nad prázdnou sadou operandů) je často definována jako výsledek s pravdou.

Pravdivá tabulka

Spojení argumentů vlevo - The skutečný bit s tvoří a Sierpinského trojúhelník.

The pravdivostní tabulka z ${displaystyle Aland B}$ :^[2]^[3]

${displaystyle A}$	${displaystyle B}$	${displaystyle Awedge B}$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Definováno jinými operátory

V systémech, kde logická spojka není primitivní, ji lze definovat jako^[5]

{displaystyle Aland B = eg (A o eg B)}

nebo

{displaystyle Aland B = eg (např. Alor např. B).}

Úvod a vylučovací pravidla

Pravidlem odvození úvod do spojky je klasicky platný, jednoduché forma argumentu. Forma argumentu má dvě premisy, A a B. Intuitivně umožňuje odvození jejich konjunkce.

A,

B.

Proto, A a B.

nebo v logický operátor notace:

{displaystyle A,}

{displaystyle B}

{displaystyle vdash Aland B}

Zde je příklad argumentu, který odpovídá formě úvod do spojení:

Bob má rád jablka.

Bob má rád pomeranče.

Proto má Bob rád jablka a Bob má rád pomeranče.

Odstranění spojení je další klasicky platný, jednoduché forma argumentu. Intuitivně umožňuje odvození z jakékoli konjunkce kteréhokoli prvku této konjunkce.

A a B.

Proto, A.

... nebo alternativně

A a B.

Proto, B.

v logický operátor notace:

{displaystyle Aland B}

{displaystyle vdash A}

... nebo alternativně

{displaystyle Aland B}

{displaystyle vdash B}

Negace

Definice

Spojka ${displaystyle Aland B}$ se prokáže jako nepravdivý stanovením buď ${displaystyle např. A}$ nebo ${displaystyle eg B}$ . Z hlediska objektového jazyka to zní

{displaystyle eg A o eg (Aland B)}

Tento vzorec lze považovat za zvláštní případ

{displaystyle (A o C) o ((Aland B) o C)}

když ${displaystyle C}$ je falešný návrh.

Další důkazní strategie

Li ${displaystyle A}$ naznačuje ${displaystyle eg B}$ , pak oba ${displaystyle např. A}$ stejně jako ${displaystyle A}$ dokázat spojení falešné:

{displaystyle (A o např. {} B) o eg (Aland B)}

Jinými slovy, konjunkci lze ve skutečnosti dokázat jako nepravdivou jen tím, že víte o vztahu jejích konjunktů, a není to nutné o jejich pravdivostních hodnotách.

Tento vzorec lze považovat za zvláštní případ

{displaystyle (A o (B o C)) o ((Aland B) o C)}

když ${displaystyle C}$ je falešný návrh.

Kterýkoli z výše uvedených případů je konstruktivně platným důkazem v rozporu.

Vlastnosti

komutativita: Ano

${displaystyle Aland B}$	${displaystyle Leftrightarrow}$	${displaystyle Bland A}$
	${displaystyle Leftrightarrow}$

asociativita: Ano

${displaystyle ~ A}$	${displaystyle ~~~ země ~~~}$	${displaystyle (Bland C)}$	${displaystyle Leftrightarrow}$			${displaystyle (Aland B)}$	${displaystyle ~~~ země ~~~}$	${displaystyle ~ C}$
	${displaystyle ~~~ země ~~~}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle ~~~ země ~~~}$

distribučnost: s různými operacemi, zejména s nebo

${displaystyle ~ A}$	${displaystyle land}$	${displaystyle (Blor C)}$	${displaystyle Leftrightarrow}$			${displaystyle (Aland B)}$	${displaystyle lor}$	${displaystyle (Aland C)}$
	${displaystyle land}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle lor}$

ostatní

s exkluzivní nebo:

${displaystyle ~ A}$	${displaystyle land}$	${displaystyle (Boplus C)}$	${displaystyle Leftrightarrow}$			${displaystyle (Aland B)}$	${displaystyle oplus}$	${displaystyle (Aland C)}$
	${displaystyle land}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle oplus}$

s nezjednodušení materiálu:

${displaystyle ~ A}$	${displaystyle land}$	${displaystyle (Brightarrow C)}$	${displaystyle Leftrightarrow}$			${displaystyle (Aland B)}$	${displaystyle rightarrow}$	${displaystyle (Aland C)}$
	${displaystyle land}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle rightarrow}$

sám se sebou:

${displaystyle ~ A}$	${displaystyle land}$	${displaystyle (Bland C)}$	${displaystyle Leftrightarrow}$			${displaystyle (Aland B)}$	${displaystyle land}$	${displaystyle (Aland C)}$
	${displaystyle land}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle land}$

idempotence: Ano

${displaystyle ~ A ~}$	${displaystyle ~ land ~}$	${displaystyle ~ A ~}$	${displaystyle Leftrightarrow}$	${displaystyle A ~}$
	${displaystyle ~ land ~}$		${displaystyle Leftrightarrow}$

monotónnost: Ano

${displaystyle Aightarrow B}$	${displaystyle Rightarrow}$			${displaystyle (Aland C)}$	${displaystyle ightarrow}$	${displaystyle (Bland C)}$
	${displaystyle Rightarrow}$		${displaystyle Leftrightarrow}$		${displaystyle ightarrow}$

uchování pravdy: ano
Když jsou všechny vstupy pravdivé, výstup je pravdivý.

${displaystyle Aland B}$	${displaystyle Rightarrow}$	${displaystyle Aland B}$
	${displaystyle Rightarrow}$
		(bude testováno)

zachování lži: ano
Když jsou všechny vstupy nepravdivé, výstup je nepravdivý.

${displaystyle Aland B}$	${displaystyle Rightarrow}$	${displaystyle Alor B}$
	${displaystyle Rightarrow}$
(bude testováno)

Walshovo spektrum: (1,-1,-1,1)

Nelinearita: 1 (funkce je ohnutý )

Pokud používáte binární potom hodnoty pro true (1) a false (0) logická spojka funguje přesně jako normální aritmetika násobení.

Aplikace v počítačovém inženýrství

A logická brána

V počítačovém programování na vysoké úrovni a digitální elektronika, logická spojka je běžně reprezentována operátorem infix, obvykle jako klíčové slovo jako „A", algebraické násobení nebo symbol ampersandu & (někdy zdvojnásobeno jako v &&). Mnoho jazyků také poskytuje zkrat řídicí struktury odpovídající logické spojce.

Logická spojka se často používá pro bitové operace, kde 0 odpovídá false a 1 pravda:

0 A 0 = 0,
0 A 1 = 0,
1 A 0 = 0,
1 A 1 = 1.

Operaci lze také aplikovat na dva binární soubory slova zobrazeno jako bitstrings stejné délky, přičemž vezmeme bitové AND každé dvojice bitů na odpovídajících pozicích. Například:

11000110 A 10100011 = 10000010.

To lze použít k výběru části bitstringu pomocí a bitová maska. Například, 10011101 A 00001000 = 00001000 extrahuje pátý bit 8bitového bitstringu.

v počítačové sítě, bitové masky se používají k odvození síťové adresy a podsíť v rámci existující sítě od daného IP adresa, ANDINGEM IP adresy a maska podsítě.

Logická spojka "A"se také používá v SQL operace k vytvoření databáze dotazy.

The Curry – Howardova korespondence souvisí logická spojka s typy produktů.

Set-teoretická korespondence

Členství v prvku prvku průniková sada v teorie množin je definována z hlediska logické spojky: X ∈ A ∩ B kdyby a jen kdyby (X ∈ A) ∧ (X ∈ B). Prostřednictvím této korespondence set-teoretický průnik sdílí několik vlastností s logickou spojkou, například asociativita, komutativita a idempotence.

Přirozený jazyk

Stejně jako u jiných pojmů formalizovaných v matematické logice logická konjunkce a je příbuzný, ale ne stejný jako, gramatická spojka a v přirozených jazycích.

Angličtina „and“ má vlastnosti nezachycené logickou spojkou. Například „a“ někdy znamená, že pořadí má smysl „potom“. Například „Vdali se a měli dítě“ v běžném diskurzu znamená, že manželství přišlo před dítětem.

Slovo „a“ může také znamenat rozdělení věci na části, protože „Americká vlajka je červená, bílá a modrá.“ Tady to neznamená, že vlajka je najednou červená, bílá a modrá, ale spíše to, že má část každé barvy.

Viz také

Reference

^ ^A ^b "Úplný seznam logických symbolů". Matematický trezor. 2020-04-06. Citováno 2020-09-02.
^ ^A ^b ^C „Konjunkce, negace a disjunkce“. filozofie.lander.edu. Citováno 2020-09-02.
^ ^A ^b ^C ^d „2.2: Konjunkce a disjunkce“. Matematika LibreTexts. 2019-08-13. Citováno 2020-09-02.
^ Józef Maria Bocheński (1959), Précis matematické logiky, přeložil Otto Bird z francouzského a německého vydání, Dordrecht, Jižní Holandsko: D. Reidel, passim.
^ Smith, Peter. "Druhy zkušebního systému" (PDF). p. 4.

externí odkazy

"Spojení", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Wolfram MathWorld: Conjunction
„Tabulka vlastností a pravdivosti výroků AND“. Archivovány od originál 6. května 2017.

[:0-1] A ^b "Úplný seznam logických symbolů". Matematický trezor. 2020-04-06. Citováno 2020-09-02.

[:1-2] A ^b ^C „Konjunkce, negace a disjunkce“. filozofie.lander.edu. Citováno 2020-09-02.

[:2-3] A ^b ^C ^d „2.2: Konjunkce a disjunkce“. Matematika LibreTexts. 2019-08-13. Citováno 2020-09-02.

[4] Józef Maria Bocheński (1959), Précis matematické logiky, přeložil Otto Bird z francouzského a německého vydání, Dordrecht, Jižní Holandsko: D. Reidel, passim.

[5] Smith, Peter. "Druhy zkušebního systému" (PDF). p. 4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Logické spojky
Tautologie /Skutečný ${displaystyle op}$
Alternativní popření (Brána NAND ) ${displaystyle uparrow}$ Konverzní implikace ${displaystyle leftarrow}$ Implikace (IMPLY brána ) ${displaystyle ightarrow}$ Disjunkce (NEBO brána ) ${displaystyle lor}$
Negace (NENÍ brána ) ${displaystyle eg}$ Exkluzivní nebo (XOR brána ) ${displaystyle ot leftrightarrow}$ Dvojpodmínečné (XNOR brána ) ${displaystyle leftrightarrow}$ Prohlášení (Digitální vyrovnávací paměť )
Společné popření (NOR brána ) ${displaystyle downarrow}$ Zjednodušení (NIMPLY brána ) ${displaystyle rightarrow}$ Konverzní neimplikace ${displaystyle leftarrow}$ Spojení (A brána ) ${displaystyle land}$
Rozpor /Nepravdivé ${displaystyle ot}$
Filozofický portál

A

Definice	${displaystyle xy}$
Pravdivá tabulka	${displaystyle (0001)}$
Logická brána
Normální formy
Disjunktivní	${displaystyle xy}$
Spojovací	${displaystyle xy}$
Zhegalkinový polynom	${displaystyle xy}$
Mřížky Postu
0-konzervování	Ano
1-konzervování	Ano
Monotónní	Ne
Afinní	Ne