Lokálně nilpotentní derivace - Locally nilpotent derivation

V matematice, a derivace ${ displaystyle částečné}$ a komutativní prsten ${ displaystyle A}$ se nazývá a lokálně nilpotentní derivace (LND) pokud každý prvek ${ displaystyle A}$ je zničen nějakou silou ${ displaystyle částečné}$.

Jedna motivace ke studiu lokálně nilpotentních derivací pochází ze skutečnosti, že některé z protipříkladů Hilbertův 14. problém jsou získána jako jádra derivace na polynomiálním kruhu.^[1]

Přes pole ${ displaystyle k}$ charakteristické nuly, dát lokálně nilpotentní derivaci na integrální doméně ${ displaystyle A}$, definitivně generované přes pole, je ekvivalentní akci akce aditivní skupina ${ displaystyle (k, +)}$ k afinní odrůdě ${ displaystyle X = operatorname {specifikace} (A)}$. Zhruba řečeno, afinní odrůda připouštějící „spoustu“ akcí skupiny aditiv je považována za podobnou afinnímu prostoru.^{[vágní ][2]}

Definice

Nechat ${ displaystyle A}$ být prsten. Připomeňme, že a derivace z ${ displaystyle A}$ je mapa ${ displaystyle částečné tlusté střevo , A až A}$ uspokojení Leibnizovo pravidlo ${ displaystyle částečné (ab) = ( částečné a) b + a ( částečné b)}$ pro všechny ${ displaystyle a, b v A}$. Li ${ displaystyle A}$ je algebra přes pole ${ displaystyle k}$, navíc požadujeme ${ displaystyle částečné}$ být ${ displaystyle k}$-lineární, takže ${ displaystyle k subseteq ker částečné}$.

Odvození ${ displaystyle částečné}$ se nazývá a lokálně nilpotentní derivace (LND) pokud pro každého ${ displaystyle a v A}$, existuje kladné celé číslo ${ displaystyle n}$ takhle ${ displaystyle částečné ^ {n} (a) = 0}$.

Li ${ displaystyle A}$ je odstupňované, říkáme, že lokálně nilpotentní derivace ${ displaystyle částečné}$ je homogenní (stupně ${ displaystyle d}$) pokud ${ displaystyle deg částečné a = deg a + d}$ pro každého ${ displaystyle a v A}$.

Sada lokálně nilpotentních derivací prstenu ${ displaystyle A}$ je označen ${ displaystyle operatorname {LND} (A)}$. Všimněte si, že tato sada nemá žádnou zjevnou strukturu: není ani uzavřena při přidání (např ${ displaystyle částečné _ {1} = y { tfrac { částečné} { částečné x}}}$, ${ displaystyle částečné _ {2} = x { tfrac { částečné} { částečné y}}}$ pak ${ displaystyle částečné _ {1}, částečné _ {2} v operatorname {LND} (k [x, y])}$ ale ${ displaystyle ( částečné _ {1} + částečné _ {2}) ^ {2} (x) = x}$, tak ${ displaystyle částečné _ {1} + částečné _ {2} ne v operatorname {LND} (k [x, y])}$) ani při násobení prvky ${ displaystyle A}$ (např. ${ displaystyle { tfrac { částečné} { částečné x}} v operatorname {LND} (k [x])}$, ale ${ displaystyle x { tfrac { částečné} { částečné x}} ne v operatorname {LND} (k [x])}$). Pokud však ${ displaystyle [ částečné _ {1}, částečné _ {2}] = 0}$ pak ${ displaystyle částečné _ {1}, částečné _ {2} v operatorname {LND} (A)}$ naznačuje ${ displaystyle částečné _ {1} + částečné _ {2} v operatorname {LND} (A)}$^[3] a pokud ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$, ${ displaystyle h in ker částečné}$ pak ${ displaystyle h částečné v operatorname {LND} (A)}$.

Vztah k ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce

Nechat ${ displaystyle A}$ být algebrou nad polem ${ displaystyle k}$ charakteristické nuly (např. ${ displaystyle k = mathbb {C}}$). Pak existuje lokální korespondence mezi místně nilpotentem ${ displaystyle k}$-derviace zapnuty ${ displaystyle A}$ a akce skupiny aditiv ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$ z ${ displaystyle k}$ na afinní odrůdě ${ displaystyle operatorname {specifikace} A}$, jak následuje.^[3] A ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce zapnuta ${ displaystyle operatorname {specifikace} A}$ odpovídá ${ displaystyle k}$-algebra homomorfismus ${ displaystyle rho dvojtečka A až A [t]}$. Jakýkoli takový ${ displaystyle rho}$ určuje lokálně nilpotentní derivaci ${ displaystyle částečné}$ z ${ displaystyle A}$ tím, že vezmeme jeho derivát na nulu, jmenovitě ${ displaystyle partial = epsilon circ { tfrac {d} {dt}} circ rho,}$ kde ${ displaystyle epsilon}$ označuje hodnocení v ${ displaystyle t = 0}$. Naopak jakákoli lokálně nilpotentní derivace ${ displaystyle částečné}$ určuje homomorfismus ${ displaystyle rho dvojtečka A až A [t]}$ podle ${ displaystyle rho = exp (t částečné) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} částečné ^ {n}.}$

Je snadné vidět, že konjugované akce odpovídají konjugovaným derivacím, tj. Pokud ${ displaystyle alpha in operatorname {Aut} A}$ a ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$ pak ${ displaystyle alpha circ částečné circ alpha ^ {- 1} v operatorname {LND} (A)}$ a ${ displaystyle exp (t cdot alpha circ částečné circ alpha ^ {- 1}) = alpha circ exp (t částečné) circ alpha ^ {- 1}}$

Algoritmus jádra

Algebra ${ displaystyle ker částečné}$ se skládá z invarianty odpovídající ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce. Je to algebraicky a faktoriálně uzavřeno ${ displaystyle A}$.^[3] Zvláštní případ Hilbertův 14. problém ptá se, zda ${ displaystyle ker částečné}$ je definitivně generováno, nebo, pokud ${ displaystyle A = k [X]}$, ať už kvocient ${ displaystyle X / ! / mathbb {G} _ {a}}$ je afinní. Podle Zariskiho věta o konečnosti,^[4] je pravda, pokud ${ displaystyle dim X leq 3}$. Na druhou stranu je tato otázka velmi netriviální i pro ${ displaystyle X = mathbb {C} ^ {n}}$, ${ displaystyle n geq 4}$. Pro ${ displaystyle n geq 5}$ odpověď je obecně záporná.^[5] Pouzdro ${ displaystyle n = 4}$ je otevřeno.^[3]

V praxi se to však často stává ${ displaystyle ker částečné}$ je známo, že je definitivně generován: zejména Maurer-Weitzenböckovou větou,^[6] to je případ pro lineární LND polynomiální algebry nad polem charakteristické nuly (o lineární máme na mysli homogenní stupeň nula s ohledem na standardní třídění).

Převzít ${ displaystyle ker částečné}$ je definitivně generován. Li ${ displaystyle A = k [g_ {1}, dots, g_ {n}]}$ je konečně generovaná algebra nad polem charakteristické nuly ${ displaystyle ker částečné}$ lze vypočítat pomocí van den Essenova algoritmu,^[7] jak následuje. Vyber místní plátek, tj. prvek ${ displaystyle r in ker částečné ^ {2} setminus ker částečné}$ a dal ${ displaystyle f = částečné r v ker částečné}$. Nechat ${ displaystyle pi _ {r} tračník , A to ( ker částečný) _ {f}}$ být Satelitní mapa Dixmier dána ${ displaystyle pi _ {r} (a) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} částečné ^ {n} (a) { frac {r ^ {n}} {f ^ {n}}}}$. Nyní pro každého ${ displaystyle i = 1, tečky, n}$, vybral minimální celé číslo ${ displaystyle m_ {i}}$ takhle ${ displaystyle h_ {i} colon = f ^ {m_ {i}} pi _ {r} (g_ {i}) in ker částečný}$, dát ${ displaystyle B_ {0} = k [h_ {1}, tečky, h_ {n}, f] subseteq ker částečný}$a definujte indukčně ${ displaystyle B_ {i}}$ být podřetězcem ${ displaystyle A}$ generováno uživatelem ${ displaystyle {h v A: fh v B_ {i-1} }}$. Indukcí to člověk dokazuje ${ displaystyle B_ {0} podmnožina B_ {1} podmnožina tečky podmnožina ker částečná}$ jsou definitivně generovány a pokud ${ displaystyle B_ {i} = B_ {i + 1}}$ pak ${ displaystyle B_ {i} = ker částečný}$, tak ${ displaystyle B_ {N} = ker částečný}$ pro některé ${ displaystyle N}$. Nalezení generátorů každého z nich ${ displaystyle B_ {i}}$ a zkontrolovat, zda ${ displaystyle B_ {i} = B_ {i + 1}}$ je standardní výpočet pomocí Gröbnerovy základny.^[7]

Věta o řezu

Předpokládat, že ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$ připouští a plátek, tj. ${ displaystyle s v A}$ takhle ${ displaystyle částečné s = 1}$. The věta o řezu^[3] tvrdí to ${ displaystyle A}$ je polynomiální algebra ${ displaystyle ( ker částečné) [s]}$ a ${ displaystyle částečné = { tfrac {d} {ds}}}$.

Pro jakýkoli místní plátek ${ displaystyle r in ker částečné setminus ker částečné ^ {2}}$ můžeme použít větu o řezu na lokalizace ${ displaystyle A _ { částečné r}}$, a tím to získat ${ displaystyle A}$ je lokálně polynomiální algebra se standardní derivací. Geometricky, pokud a geometrický kvocient ${ displaystyle pi colon , X až X // mathbb {G} _ {a}}$ je afinní (např. když ${ displaystyle dim X leq 3}$ podle Zariskiho věta ), pak má podmnožinu otevřenou Zariski ${ displaystyle U}$ takhle ${ displaystyle pi ^ {- 1} (U)}$ je izomorfní ${ displaystyle U}$ na ${ displaystyle U times mathbb {A} ^ {1}}$, kde ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$ působí překladem na druhý faktor.

To však obecně není pravda ${ displaystyle X až X // mathbb {G} _ {a}}$ je místně triviální. Například,^[8] nechat ${ displaystyle částečné = u { tfrac { částečné} { částečné x}} + v { tfrac { částečné} { částečné y}} + (1 + uy ^ {2}) { tfrac { částečné} { částečné z}} v operatorname {LND} ( mathbb {C} [x, y, z, u, v])}$. Pak ${ displaystyle ker částečné}$ je souřadnicový kruh singulární odrůdy a vlákna mapy kvocientu nad singulárními body jsou dvourozměrná.

Li ${ displaystyle dim X = 3}$ pak ${ displaystyle Gamma = X setminus U}$ je křivka. Popsat ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce, je důležité porozumět geometrii ${ displaystyle Gamma}$. Předpokládejme dále ${ displaystyle k = mathbb {C}}$ a to ${ displaystyle X}$ je hladký a smluvní (v jakém případě ${ displaystyle S}$ je také hladký a kontraktační^[9]) a vyberte ${ displaystyle Gamma}$ být minimální (s ohledem na zařazení). Pak Kaliman dokázal^[10] že každá neredukovatelná složka ${ displaystyle Gamma}$ je polynomiální křivka, tj. jeho normalizace je izomorfní s ${ displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$. Křivka ${ displaystyle Gamma}$ za akci danou Freudenburgovou (2,5) derivací (viz níže ) je spojení dvou řádků v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$, tak ${ displaystyle Gamma}$ nemusí být neredukovatelné. Předpokládá se však, že ${ displaystyle Gamma}$ je vždy smluvní.^[11]

Příklady

Příklad 1

Standardní derivace souřadnic ${ displaystyle { tfrac { částečné} { částečné x_ {i}}}}$ polynomiální algebry ${ displaystyle k [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ jsou lokálně nilpotentní. Korespondence ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce jsou překlady: ${ displaystyle t cdot x_ {i} = x_ {i} + t}$, ${ displaystyle t cdot x_ {j} = x_ {j}}$ pro ${ displaystyle j neq i}$.

Příklad 2 (Freudenburgova (2,5) -homogenní derivace^[12])

Nechat ${ displaystyle f_ {1} = x_ {1} x_ {3} -x_ {2} ^ {2}}$, ${ displaystyle f_ {2} = x_ {3} f_ {1} ^ {2} + 2x_ {1} ^ {2} x_ {2} f_ {1} + x ^ {5}}$a nechte ${ displaystyle částečné}$ být Jacobian derivace ${ displaystyle částečné (f_ {3}) = det [{ tfrac { částečné f_ {i}} { částečné x_ {j}}}] _ {i, j = 1,2,3}}$. Pak ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (k [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}])}$ a ${ displaystyle operatorname {hodnost} částečné = 3}$ (vidět níže ); to je ${ displaystyle částečné}$ ničí žádnou proměnnou. Sada pevných bodů odpovídajících ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce se rovná ${ displaystyle {x_ {1} = x_ {2} = 0 }}$.

Příklad 3

Zvážit ${ displaystyle Sl_ {2} (k) = {ad-bc = 1 } subseteq k ^ {4}}$. Lokálně nilpotentní derivace ${ displaystyle a { tfrac { částečné} { částečné b}} + c { tfrac { částečné} { částečné d}}}$ jeho souřadnicového prstence odpovídá přirozenému působení ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$ na ${ displaystyle Sl_ {2} (k)}$ přes pravé násobení horních trojúhelníkových matic. Tato akce dává netriviální ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-bundle přes ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2} setminus {(0,0) }}$. Pokud však ${ displaystyle k = mathbb {C}}$ pak je tento balíček triviální v hladké kategorii^[13]

LND polynomiální algebry

Nechat ${ displaystyle k}$ být polem charakteristické nuly (pomocí Kambayashiho věty lze snížit většinu výsledků na případ ${ displaystyle k = mathbb {C}}$^[14]) a nechte ${ displaystyle A = k [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ být polynomiální algebrou.

${ displaystyle n = 2}$ (${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce na afinní rovině)

Rentschlerova věta

Každý LND ${ displaystyle k [x_ {1}, x_ {2}]}$ lze konjugovat ${ displaystyle f (x_ {1}) { tfrac { částečné} { částečné x_ {2}}}}$ pro některé ${ displaystyle f (x_ {1}) v k [x_ {1}]}$. Tento výsledek úzce souvisí se skutečností, že každý automorfismus z afinní letadlo je krotit, a nedrží ve vyšších dimenzích.^[15]

${ displaystyle n = 3}$ (${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce na afinním 3-prostoru)

Miyanishi věta

Jádro každého netriviálního LND ${ displaystyle A = k [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$ je izomorfní k polynomickému kruhu ve dvou proměnných; to je sada pevných bodů každé netriviální ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce zapnuta ${ displaystyle mathbb {A} ^ {3}}$ je izomorfní s ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2}}$.^[16][17]

Jinými slovy, pro každého ${ displaystyle 0 neq částečné v operatorname {LND} (A)}$ existují ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2} v A}$ takhle ${ displaystyle ker částečné = k [f_ {1}, f_ {2}]}$ (ale na rozdíl od případu ${ displaystyle n = 2}$, ${ displaystyle A}$ není nutně polynomiální kruh ${ displaystyle ker částečné}$). V tomto případě, ${ displaystyle částečné}$ je Jacobian derivace: ${ displaystyle částečné (f_ {3}) = det [{ tfrac { částečné f_ {i}} { částečné x_ {j}}}] _ {i, j = 1,2,3}}$.^[18]

Zurkowského věta

Předpokládat, že ${ displaystyle n = 3}$ a ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$ je homogenní ve vztahu k pozitivnímu hodnocení ${ displaystyle A}$ takhle ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ jsou homogenní. Pak ${ displaystyle ker částečné = k [f, g]}$ pro některé homogenní ${ displaystyle f, g}$. Navíc,^[18] -li ${ displaystyle deg x_ {1}, deg x_ {2}, deg x_ {3}}$ jsou tedy relativně nejlepší ${ displaystyle deg f, deg g}$ jsou také relativně nejlepší.^[19][3]

Bonnetova věta

Kvocient morfismu ${ displaystyle mathbb {A} ^ {3} to mathbb {A} ^ {2}}$ a ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce je surjektivní. Jinými slovy, pro každého ${ displaystyle 0 neq částečné v operatorname {LND} (A)}$, vložení ${ displaystyle ker částečné subseteq A}$ vyvolává surjektivní morfismus ${ displaystyle operatorname {Spec} A to operatorname {Spec} ker částečný}$.^[20][10]

To již neplatí pro ${ displaystyle n geqslant 4}$, např. obrázek mapy kvocientu ${ displaystyle mathbb {A} ^ {4} to mathbb {A} ^ {3}}$ podle a ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce ${ displaystyle t cdot (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} -tx_ {2}, x_ {4} + tx_ {1})}$ (což odpovídá LND dané ${ displaystyle x_ {1} { tfrac { částečné} { částečné x_ {4}}} - x_ {2} { tfrac { částečné} { částečné x_ {3}}})}$ rovná se ${ displaystyle mathbb {A} ^ {3} setminus {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}): x_ {1} = x_ {2} = 0, x_ {3} neq 0 }}$.

Kaliman věta

Každá akce s pevným bodem zdarma ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$ na ${ displaystyle mathbb {A} ^ {3}}$ je konjugován s překladem. Jinými slovy, každý ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$ tak, že obraz ${ displaystyle částečné}$ generuje ideální jednotku (nebo ekvivalentně ${ displaystyle částečné}$ definuje nikde mizející vektorové pole), připouští řez. Výsledkem jsou odpovědi na jednu z dohadů z Kraftův seznam.^[10]

Tento výsledek opět neplatí pro ${ displaystyle n geqslant 4}$:^[21] např. zvážit ${ displaystyle x_ {1} { tfrac { částečné} { částečné x_ {2}}} + x_ {2} { tfrac { částečné} { částečné x_ {3}}} + (x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} x_ {3} -1) { tfrac { částečné} { částečné x_ {4}}} v operatorname {LND} ( mathbb {C} [x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}])}$. Body ${ displaystyle (x_ {1}, 1,0,0)}$ a ${ displaystyle (x_ {1}, - 1,0,0)}$ jsou na stejné oběžné dráze odpovídající ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce právě tehdy ${ displaystyle x_ {1} neq 0}$; proto (topologický) kvocient není ani Hausdorff, natož homeomorfní ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$.

Hlavní ideální věta

Nechat ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$. Pak ${ displaystyle A}$ je věrně plochý přes ${ displaystyle ker částečné}$. Navíc ideální ${ displaystyle ker částečné cap operatorname {im} částečné}$ je ředitel školy v ${ displaystyle A}$.^[14]

Trojúhelníkové derivace

Nechat ${ displaystyle f_ {1}, tečky, f_ {n}}$ být libovolný systém proměnných ${ displaystyle A}$; to je ${ displaystyle A = k [f_ {1}, dots, f_ {n}]}$. Odvození ${ displaystyle A}$ je nazýván trojúhelníkový s ohledem na tento systém proměnných, pokud ${ displaystyle částečné f_ {1} v k}$ a ${ displaystyle částečné f_ {i} v k [f_ {1}, tečky, f_ {i-1}]}$ pro ${ displaystyle i = 2, tečky, n}$. Derivace se nazývá trojúhelníkové pokud je konjugovaný s trojúhelníkovým, nebo ekvivalentně, pokud je trojúhelníkový vzhledem k nějaké soustavě proměnných. Každá trojúhelníková derivace je místně nilpotentní. Opak platí pro ${ displaystyle leq 2}$ podle Rentschlerovy věty výše, ale neplatí to pro ${ displaystyle n geq 3}$.

Bassův příklad

Odvození ${ displaystyle k [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$ dána ${ displaystyle x_ {1} { tfrac { částečné} { částečné x_ {2}}} + 2x_ {2} x_ {1} { tfrac { částečné} { částečné x_ {3}}}}$ není trojúhelníková.^[22] Ve skutečnosti je soubor s pevným bodem odpovídající ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce je kvadrický kužel ${ displaystyle x_ {2} x_ {3} = x_ {2} ^ {2}}$, zatímco výsledkem Popova,^[23] sada pevných bodů trojúhelníkového tvaru ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce je izomorfní s ${ displaystyle Z times mathbb {A} ^ {1}}$ pro nějakou afinní odrůdu ${ displaystyle Z}$; a proto nemůže mít izolovanou singularitu.

Freudenburgova věta

Výše uvedená nezbytná geometrická podmínka byla později zobecněna Freudenburgem.^[24] K vyjádření jeho výsledku potřebujeme následující definici:

A klika z ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$ je maximální počet ${ displaystyle j}$ takový, že existuje systém proměnných ${ displaystyle f_ {1}, tečky, f_ {n}}$ takhle ${ displaystyle f_ {1}, tečky, f_ {j} v ker částečné}$. Definovat ${ displaystyle operatorname {hodnost} částečné}$ tak jako ${ displaystyle n}$ minus klikou ${ displaystyle částečné}$.

My máme ${ displaystyle 1 leq operatorname {hodnost} částečné leq n}$ a ${ displaystyle operatorname {rank} ( částečný) = 1}$ právě když v některých souřadnicích, ${ displaystyle částečné = h { tfrac { částečné} { částečné x_ {n}}}}$ pro některé ${ displaystyle h in k [x_ {1}, dots, x_ {n-1}]}$.^[24]

Věta: Pokud ${ displaystyle částečné v operatorname {LND} (A)}$ je triangulovatelný, pak jakýkoli hyperplocha obsažená v sadě pevných bodů odpovídající ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-akce je izomorfní s ${ displaystyle Z times mathbb {A} ^ { operatorname {hodnost} částečné}}$.^[24]

Zejména LND s maximálním hodnocením ${ displaystyle n}$ nemůže být trojúhelníková. Takové derivace existují pro ${ displaystyle n geq 3}$: prvním příkladem je (2,5) -homogenní derivace (viz výše) a lze jej snadno zobecnit na jakýkoli ${ displaystyle n geq 3}$.^[12]

Makar-Limanov neměnný

Průsečík jader všech lokálně nilpotentních derivací souřadnicového kruhu nebo ekvivalentně kruhu invarianty všech ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$-action, nazývá se „Makar-Limanovův invariant“ a je důležitým algebraickým invariantem afinní odrůdy. Například pro afinní prostor je triviální; ale pro Koras – Russell kubický trojnásobně, který je difeomorfní na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$, Není.^[25]

Reference

Další čtení

• Nowicki, čtrnáctý problém Hilberta pro polynomiální derivace